Binary Operator concept- GATE 2025 Discrete mathematics tutorial in Hindi The binary operator

Binary Operator concept- GATE 2021 Discrete mathematics tutorial in Hindi The binary operator

 Binary Operator Concept – GATE 2025 Discrete Mathematics Tutorial in Hindi

 क्या है Binary Operator?

Binary Operator एक ऐसा ऑपरेटर होता है जो दो ऑपरेटिंग वैल्यू (Operands) पर काम करता है और एक सिंगल रिजल्ट देता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$$A\ast B$$

जहाँ $\ast$ एक बाइनरी ऑपरेटर है और $A$ तथा $B$ इसके दो ऑपरेण्ड्स हैं।

 Types of Binary Operators in Discrete Mathematics

Discrete Mathematics में बाइनरी ऑपरेटर्स मुख्यतः Set Theory, Logic, and Algebra में उपयोग किए जाते हैं।

 Arithmetic Binary Operators (गणितीय बाइनरी ऑपरेटर)

Addition (+) → $a+b$
Subtraction (-) → $a-b$
Multiplication (×) → $a\times b$
Division (÷) → $a÷b$
Modulus (%) → $a\mathrm{mod}b$

Example: यदि $a=5$ और $b=3$, तो

$$5+3=8$$

 Logical Binary Operators (तार्किक बाइनरी ऑपरेटर)

Boolean Algebra और Logic Gates में उपयोग होते हैं।

AND ( ∧ ) → $A\wedge B$
OR ( ∨ ) → $A\vee B$
XOR ( ⊕ ) → $A\oplus B$

Example: यदि

• $A=1$, $B=0$
• $A\wedge B=1\wedge 0=0$ (AND Operation)
• $A\vee B=1\vee 0=1$ (OR Operation)

 Relational Binary Operators (संबंधित बाइनरी ऑपरेटर)

यह ऑपरेटर्स संबंधों (Relations) और सत्यता (Truth Values) की तुलना के लिए उपयोग होते हैं।

Equal to ( = ) → $A=B$
Not Equal to ( ≠ ) → A≠BA \neq BA=B
Greater than ( > ) → $A>B$
Less than ( < ) → $A<B$

Example:
यदि $A=4,B=6$, तो

• $A<B$ (True)
• $A=B$ (False)

 Set Theory Binary Operators (सेट थ्योरी में बाइनरी ऑपरेटर्स)

Set Theory में बाइनरी ऑपरेटर्स का उपयोग Sets के बीच ऑपरेशन करने के लिए किया जाता है।

Union ( ∪ ) → $A\cup B$
Intersection ( ∩ ) → $A\cap B$
Difference ( – ) → $A-B$
Cartesian Product ( × ) → $A\times B$

Example:
यदि $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{2,3,4\}$, तो

• $A\cup B=\{1,2,3,4\}$
• $A\cap B=\{2,3\}$

 Important Properties of Binary Operators

Closure Property: यदि $a,b$ किसी Set $S$ के एलिमेंट हैं और $a\ast b$ फिर से $S$ में आता है, तो ऑपरेशन Closure को फॉलो करता है।
Associativity: $(A\ast B)\ast C=A\ast (B\ast C)$
Commutativity: $A\ast B=B\ast A$
Identity Element: ऐसा एलिमेंट $e$ जिससे $A\ast e=A$ हो। (जैसे Addition में 0, Multiplication में 1)
Inverse Element: ऐसा एलिमेंट A−1A^{-1}A−1 जिससे A∗A−1=IdentityA * A^{-1} = IdentityA∗A−1=Identity हो।

 Conclusion (निष्कर्ष)

• Binary Operator दो वैल्यू पर कार्य करता है।
• यह गणितीय, तार्किक, रिलेशनल और सेट ऑपरेशन में प्रयोग किया जाता है।
• इसकी Closure, Associative, और Commutative Properties होती हैं।
• यह GATE, Discrete Mathematics और Computer Science में महत्वपूर्ण है।

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