Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
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- 1 Part 07 – Discrete Mathematics for GATE: Examples on Symmetry, Anti-Symmetry, and Asymmetry
- 1.1 1. Symmetric Relation (सममित संबंध)
- 1.2 2. Anti-Symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध)
- 1.3 3. Asymmetric Relation (असमान्य संबंध)
- 1.4 संबंधों की तुलना (Comparison Table)
- 1.5 निष्कर्ष
- 1.6 Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
- 1.7 B.A.(Prog) Mathematics Discipline Specific Course (DSC-1)
- 1.8 Discrete Mathematical Structures
Part 07 – Discrete Mathematics for GATE: Examples on Symmetry, Anti-Symmetry, and Asymmetry
1. Symmetric Relation (सममित संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R है, तो (b,a)∈R(b, a) \in R भी होना चाहिए।
Example 1: “Friendship Relation”
- अगर राम और श्याम दोस्त हैं, तो श्याम और राम भी दोस्त होंगे।
- यानी, यदि (राम,श्याम)∈R(राम, श्याम) \in R, तो (श्याम,राम)∈R(श्याम, राम) \in R भी होगा।
- इसलिए, यह संबंध Symmetric है।
Example 2: “Equality Relation ( = )”
- यदि a = b, तो b = a भी होगा।
- यानी, (a,b)∈R(a, b) \in R तो (b,a)∈R(b, a) \in R भी होगा।
- यह संबंध भी Symmetric है।
2. Anti-Symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R और (b,a)∈R(b, a) \in R दोनों सत्य हैं, तो a = b होना चाहिए।
Example 1: “Subset Relation (⊆)”
- यदि A ⊆ B और B ⊆ A, तो इसका मतलब A = B ही होगा।
- यानी, (A,B)∈R(A, B) \in R और (B,A)∈R(B, A) \in R का अर्थ है कि A और B समान (equal) हैं।
- इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।
Example 2: “Divisibility Relation (|)”
- यदि a | b (a, b को विभाजित करता है) और b | a दोनों सत्य हैं, तो इसका मतलब a = b होगा।
- उदाहरण: 4 | 4 और 6 | 6 संभव है, लेकिन 4 | 2 और 2 | 4 दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते।
- इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।
3. Asymmetric Relation (असमान्य संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R है, तो (b,a)∉R(b, a) \notin R होना चाहिए।
Example 1: “Less Than Relation (<)”
- यदि a < b है, तो b < a कभी नहीं हो सकता।
- उदाहरण: 3<73 < 7, लेकिन 7<37 < 3 गलत है।
- इसलिए, यह संबंध Asymmetric है।
Example 2: “Precedence Relation in Scheduling”
- यदि टास्क A टास्क B से पहले पूरा होना चाहिए, तो टास्क B टास्क A से पहले नहीं हो सकता।
- जैसे, अगर Exam से पहले Revision होना चाहिए, तो Revision के बाद Exam ही होगा, Exam पहले नहीं हो सकता।
- इसलिए, यह Asymmetric है।
संबंधों की तुलना (Comparison Table)
| Relation Type | Definition | Example |
|---|---|---|
| Symmetric | यदि (a, b) ∈ R तो (b, a) भी ∈ R | दोस्ती (Friendship), समानता (Equality) |
| Anti-Symmetric | यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R, तो a = b | सबसेट (⊆), विभाज्यता ( |
| Asymmetric | यदि (a, b) ∈ R तो (b, a) ∉ R | छोटा-बड़ा (<), प्राथमिकता (Precedence) |
निष्कर्ष
- Symmetric संबंधों में यदि एक जोड़ी है, तो उसकी उल्टी जोड़ी भी होनी चाहिए।
- Anti-Symmetric संबंधों में यदि दो जोड़ी मौजूद हैं, तो वे समान होने चाहिए।
- Asymmetric संबंधों में कभी भी दोनों दिशाओं में संबंध नहीं हो सकता।
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