Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set
Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set
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- 1 Day 01: डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) – यूनिवर्सल सेट और कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट
- 2 यह टॉपिक GATE (CSE/IT) के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि सेट थ्योरी (Set Theory) से अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं।
- 3 यूनिवर्सल सेट (Universal Set) क्या होता है?
- 4 उदाहरण
- 5 कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट (Complement of a Set) क्या होता है?
- 6 गणितीय परिभाषा
- 7 उदाहरण
- 8 वेन डायग्राम द्वारा समझें
- 9 कुछ महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)
- 10 GATE (CSE/IT) में संभावित प्रश्न
- 11 निष्कर्ष (Conclusion)
- 12 Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set
- 13 Discrete Mathematics for Computer Science
- 14 Mathematics (Discrete Structure).pdf
- 15 UNIT – I – Set Theory – SMT5201
Day 01: डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) – यूनिवर्सल सेट और कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट
यह टॉपिक GATE (CSE/IT) के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि सेट थ्योरी (Set Theory) से अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं।
यूनिवर्सल सेट (Universal Set) क्या होता है?
यूनिवर्सल सेट वह सेट होता है जिसमें सभी संबंधित तत्व (elements) मौजूद होते हैं। इसे आमतौर पर U से दर्शाया जाता है।
उदाहरण
यदि हमारे पास तीन सेट दिए गए हैं:
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
- C = {5, 6, 7}
और अगर ये सभी U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} में मौजूद हैं, तो U हमारा यूनिवर्सल सेट कहलाएगा।
महत्वपूर्ण बातें:
- यूनिवर्सल सेट की परिभाषा प्रश्न के अनुसार बदल सकती है।
- सभी सेट उसी यूनिवर्सल सेट का हिस्सा होते हैं।
- U का कम्प्लीमेंट (U’) नहीं होता, क्योंकि U के बाहर कुछ भी नहीं होता।
कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट (Complement of a Set) क्या होता है?
अगर कोई सेट A यूनिवर्सल सेट U का एक हिस्सा है, तो उसका Complement (A’) उन तत्वों का सेट होगा जो U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं।
गणितीय परिभाषा
A′=U−AA’ = U – A
जहाँ,
- A’ (Complement of A) = वे तत्व जो U में हैं लेकिन A में नहीं हैं।
उदाहरण
मान लीजिए U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} और
A = {1, 2, 3, 4} है।
तो,
A′=U−A={5,6,7,8,9}A’ = U – A = \{5, 6, 7, 8, 9\}
महत्वपूर्ण बातें:
- A’ + A = U (सेट A और उसके कम्प्लीमेंट को मिलाने पर यूनिवर्सल सेट बन जाता है)।
- A ∩ A’ = ∅ (सेट A और उसके कम्प्लीमेंट का इंटरसेक्शन हमेशा खाली सेट होता है)।
वेन डायग्राम द्वारा समझें
यूनिवर्सल सेट (U) को एक बड़ा बॉक्स मान सकते हैं।
सेट A इस बॉक्स के अंदर एक छोटा गोला होगा।
A’ (A का कम्प्लीमेंट) बॉक्स का वह हिस्सा होगा जो गोले के बाहर है।
उदाहरण का वेन डायग्राम:
कुछ महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)
डि मॉर्गन के नियम (De Morgan’s Laws):
(A∪B)′=A′∩B′(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A∩B)′=A′∪B′(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
किसी भी सेट और उसके कम्प्लीमेंट का मिलाकर यूनिवर्सल सेट बनता है:
A∪A′=UA ∪ A’ = U
किसी भी सेट और उसके कम्प्लीमेंट का इंटरसेक्शन हमेशा खाली सेट होता है:
A∩A′=∅A ∩ A’ = ∅
GATE (CSE/IT) में संभावित प्रश्न
Q1: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} और A = {2, 4, 6, 8, 10} हो, तो A’ क्या होगा?
उत्तर: A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
Q2: यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, और U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, तो (A ∩ B)’ क्या होगा?
हल:
पहले हम A ∩ B निकालते हैं:
A∩B={3}A ∩ B = \{3\}
अब, (A ∩ B)’ = U – {3} = {1, 2, 4, 5, 6}
निष्कर्ष (Conclusion)
- यूनिवर्सल सेट (U) सभी तत्वों को समाहित करता है।
- किसी सेट A का कम्प्लीमेंट (A’) वे सभी तत्व होते हैं जो U में हैं लेकिन A में नहीं हैं।
- वेन डायग्राम का उपयोग करके आसानी से समझा जा सकता है।
- GATE में अक्सर डि मॉर्गन के नियम और कम्प्लीमेंट से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।
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