Computer Science/Numerical Methods/ Bisection method ( With complete introduction)

Computer Science/Numerical Methods/ Bisection method ( With complete introduction)

Bisection Method in Numerical Methods (Complete Introduction)

 What is the Bisection Method?

The Bisection Method is a numerical technique used to find the roots of a function f(x) = 0 in a given interval [a, b]. It is based on the Intermediate Value Theorem (IVT), which states that:

If a continuous function f(x) changes sign between two points a and b (i.e., f(a) * f(b) < 0), then there exists at least one root in the interval [a, b].

 Steps to Apply the Bisection Method

Choose an interval [a, b] such that f(a) * f(b) < 0 (i.e., f(x) changes sign).
Find the midpoint (c):

c=a+b2c = \frac{a + b}{2}c=2a+b​

Check the function value at c:

• If f(c) = 0, then c is the root.
• If f(a) * f(c) < 0, then the root lies in [a, c]. Update b = c.
• Else, the root lies in [c, b]. Update a = c.
  Repeat steps 2 & 3 until the root is found with the required accuracy (ε tolerance level).

 Example Problem

Find the root of f(x) = x³ – 4x – 9 using the bisection method in the interval [2, 3].

Step 1: Check the function values at endpoints

f(2)=(2)3−4(2)−9=8−8−9=−9f(2) = (2)^3 – 4(2) – 9 = 8 – 8 – 9 = -9f(2)=(2)3−4(2)−9=8−8−9=−9 f(3)=(3)3−4(3)−9=27−12−9=6f(3) = (3)^3 – 4(3) – 9 = 27 – 12 – 9 = 6f(3)=(3)3−4(3)−9=27−12−9=6

Since f(2) * f(3) < 0, a root exists in [2, 3].

Step 2: Compute Midpoint

c=2+32=2.5c = \frac{2 + 3}{2} = 2.5c=22+3​=2.5 f(2.5)=(2.5)3−4(2.5)−9=15.625−10−9=−3.375f(2.5) = (2.5)^3 – 4(2.5) – 9 = 15.625 – 10 – 9 = -3.375f(2.5)=(2.5)3−4(2.5)−9=15.625−10−9=−3.375

Since f(2) * f(2.5) < 0, update b = 2.5.

Step 3: Repeat until required accuracy is achieved
Continuing this process, we get a refined root x ≈ 2.75 after multiple iterations.

 Advantages of the Bisection Method

Always Convergent (as long as f(a) * f(b) < 0).
Simple and easy to implement.
Works for any continuous function.

 Limitations of the Bisection Method

Slow Convergence (linear order).
Cannot find multiple roots in the same interval.
Requires initial interval selection where sign change occurs.

 Python Code Implementation

 Conclusion

The Bisection Method is a fundamental root-finding technique used in numerical methods. While it guarantees convergence, it is relatively slow compared to other methods like Newton-Raphson or Secant Method. However, its simplicity makes it an excellent choice for solving equations numerically.

Computer Science/Numerical Methods/ Bisection method ( With complete introduction)

3. Numerical analysis I 1. Root finding: Bisection method 2. …

Introductory Methods of Numerical Analysis

यहाँ पर Numerical Methods में एक महत्वपूर्ण टॉपिक Bisection Method का पूरा परिचय हिंदी में दिया गया है। यह टॉपिक विशेष रूप से Computer Science, Engineering Mathematics, और Competitive Exams (GATE, NET) के लिए उपयोगी है।

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🧮 Bisection Method – पूरी जानकारी (Complete Introduction in Hindi)

📌 1. बायसेक्शन विधि क्या है? (What is Bisection Method?)

Bisection Method एक न्यूमेरिकल तकनीक है जिसका उपयोग गणितीय समीकरणों के मूल (Roots) खोजने के लिए किया जाता है।

यह एक ब्रैकिटिंग मेथड (Bracketing Method) है जो एक दिए गए इंटरवल $[a,b]$ में फंक्शन $f(x)$ का रूट खोजता है, जहाँ $f(a)\cdot f(b)<0$ हो।

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🧠 2. आवश्यक शर्त (Essential Condition)

• दिए गए $f(x)$ फ़ंक्शन में रूट मौजूद होना चाहिए।

• $f(a)\cdot f(b)<0$ होना आवश्यक है (यह दर्शाता है कि रूट $a$ और $b$ के बीच है)।

• $f(x)$ एक continuous function होना चाहिए।

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🧮 3. चरण दर चरण प्रक्रिया (Step-by-Step Process)

1. Start with interval $[a,b]$, such that $f(a)\cdot f(b)<0$

2. Calculate midpoint:

   c=a+b2c = \frac{a + b}{2}c=2a+b​

3. Check $f(c)$:

   • अगर $f(c)=0$, तो यही रूट है।

   • अगर $f(a)\cdot f(c)<0$, तो नया इंटरवल होगा $[a,c]$

   • अगर $f(c)\cdot f(b)<0$, तो नया इंटरवल होगा $[c,b]$

4. इसी प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि रूट एक निर्धारित सटीकता (tolerance) तक नहीं मिल जाए।

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📊 4. उदाहरण (Example):

मान लीजिए हमें f(x)=x3−x−2f(x) = x^3 – x – 2f(x)=x3−x−2 का रूट ढूंढना है।

1. $f(1)=1-1-2=-2$
   $f(2)=8-2-2=4$

$$f(1)\cdot f(2)=-8<0\Rightarrow \text{Root lies between 1 and 2}$$

2. c1=1+22=1.5c_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5c1​=21+2​=1.5
   $f(1.5)=3.375-1.5-2=-0.125$

3. अब:

   • $f(1.5)<0$ और $f(2)>0$

   • अगला इंटरवल: $[1.5,2]$

4. c2=1.5+22=1.75c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75c2​=21.5+2​=1.75
   $f(1.75)=5.36-1.75-2=1.61$

5. अगला इंटरवल: $[1.5,1.75]$

👉 इस तरह से हम step-by-step root को narrow करते हैं।

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📈 5. फायदे (Advantages):

• सरल और भरोसेमंद तरीका

• Root हमेशा निकलेगा (अगर condition satisfied है)

• प्रत्येक स्टेप में इंटरवल आधा होता है (guaranteed convergence)

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⚠️ 6. सीमाएं (Limitations):

• केवल तब कार्य करता है जब $f(a)\cdot f(b)<0$

• Convergence धीमी होती है (Linear Rate)

• केवल एक root दे सकता है (interval में एक root ही हो)

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📚 निष्कर्ष (Conclusion):

Bisection Method एक सटीक और सरल root-finding तकनीक है, खासकर तब जब आपको केवल एक approximate रूट की आवश्यकता हो और इंटरवल मालूम हो।

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✅ Bonus Material:

• अगर आप चाहें, तो मैं इसका:

  • 📝 Step-by-step PDF notes

  • 🎧 Audio explanation (हिंदी में)

  • 💻 Python / C program code for Bisection Method

  • 🎯 Quiz Practice Questions

भी प्रदान कर सकता हूँ।

क्या आप अगले टॉपिक पर चलना चाहेंगे? जैसे कि Newton-Raphson Method (हिंदी में)?

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