AAD- Dynamic Programming In Hindi Introduction and General Method multistage graphs Part 1

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डीynamic Programming (डीपी) – परिचय और सामान्य विधि (Multistage Graphs)

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (Dynamic Programming, DP) एक शक्तिशाली तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिन्हें छोटे-छोटे उप-समस्याओं में विभाजित किया जा सकता है। इस तकनीक का मुख्य उद्देश्य समान उप-समस्याओं के परिणामों को पुनः उपयोग करना है ताकि समय और संसाधनों की बचत की जा सके। जब हम एक समस्या को हल करते हैं, तो हम पहले उन उप-समस्याओं का समाधान ढूंढते हैं, फिर उन्हें उपयोग करके पूरे समस्या का समाधान करते हैं।

Dynamic Programming का परिचय:

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (DP) का प्रयोग तब किया जाता है जब कोई समस्या ओवरलैपिंग सबप्रोब्लेम्स और ऑप्टिमल सबस्ट्रक्चर की विशेषताएँ प्रदर्शित करती है। इसका अर्थ है कि:

1. ओवरलैपिंग सबप्रोब्लेम्स (Overlapping Subproblems): समस्या को हल करते समय हम एक ही उप-समस्या को बार-बार हल करते हैं।
2. ऑप्टिमल सबस्ट्रक्चर (Optimal Substructure): समस्या के समाधान को उप-समस्याओं के समाधान से निर्मित किया जा सकता है, जिससे हमें केवल एक बार उप-समस्याओं का समाधान निकालने की आवश्यकता होती है।

डायनेमिक प्रोग्रामिंग का उपयोग प्रोब्लेम्स जैसे कि फिबोनाच्ची सीरीज, शॉर्टेस्ट पाथ प्रॉब्लेम्स, और स्ट्रिंग मैचिंग में किया जाता है।

Multistage Graphs (मल्टीस्टेज ग्राफ़) – एक सामान्य उदाहरण

मल्टीस्टेज ग्राफ़ वह प्रकार के ग्राफ होते हैं जिसमें प्रत्येक नोड (शिखर) को विभिन्न चरणों के रूप में व्यवस्थित किया जाता है। इनमें एक स्रोत शिखर (Source Node) और एक लक्ष्य शिखर (Target Node) होता है। यह ग्राफ विभिन्न चरणों के रूप में व्यवस्थित होता है, और एक चरण से दूसरे चरण तक जाने के लिए कुछ एज (Edge) होते हैं। प्रत्येक एज में एक वजन (Weight) होता है, और हमें इस ग्राफ में स्रोत से लक्ष्य तक जाने का सबसे कम वजन (minimum cost) या सबसे अच्छा रास्ता (optimal path) निकालने की आवश्यकता होती है।

Multistage Graphs के साथ समस्याओं का समाधान करने के लिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग का उपयोग किया जाता है।

General Method for Solving Multistage Graph Problems Using Dynamic Programming (Multistage Graph समस्या को हल करने की सामान्य विधि):

Step 1: Graph Representation

ग्राफ को सही तरीके से प्रस्तुत करें। मल्टीस्टेज ग्राफ में प्रत्येक नोड को एक चरण (Stage) के रूप में चित्रित किया जाता है, और प्रत्येक एज (Edge) एक चरण से दूसरे चरण में ट्रांसफर को दर्शाता है।

Step 2: Initialization

सबसे पहले, अंतिम चरण (Stage) में लक्ष्य नोड (Target Node) से जुड़ी जानकारी प्राप्त करें। इसे वर्तमान न्यूनतम लागत के रूप में शुरू करें।

Step 3: Compute Minimum Cost for Each Node

अब हम उल्टे क्रम (Reverse Order) में ग्राफ के प्रत्येक नोड के लिए न्यूनतम लागत (Minimum Cost) की गणना करेंगे। प्रत्येक नोड के लिए, हम उन नोड्स के मार्ग का मूल्यांकन करते हैं जो इस नोड से सीधे जुड़े होते हैं और सबसे कम लागत वाले मार्ग को चुनते हैं।

Step 4: Recursion

इस प्रक्रिया को अगले नोड पर लागू करें और फिर इसे प्रत्येक चरण पर लागू करें जब तक हम स्रोत नोड तक नहीं पहुँच जाते। हम प्रत्येक नोड के लिए इसका समाधान दर्ज करेंगे और अंत में स्रोत नोड से लक्ष्य नोड तक का सबसे कम रास्ता प्राप्त करेंगे।

Step 5: Backtrack to Find the Optimal Path

एक बार जब हम सबसे कम लागत (minimum cost) का मार्ग प्राप्त कर लें, तो हम वापसी प्रक्रिया (Backtracking) द्वारा उस मार्ग को ट्रैक कर सकते हैं और इस तरह से हम सबसे अच्छे मार्ग (optimal path) का चयन कर सकते हैं।

Multistage Graph Problem का एक उदाहरण:

मान लीजिए हमें एक मल्टीस्टेज ग्राफ दिया गया है, जिसमें प्रत्येक नोड एक चरण (Stage) को दर्शाता है और एज (Edge) के वजन को दर्शाता है। हमारा उद्देश्य है कि हम Stage 1 से Stage 5 तक सबसे कम लागत वाले रास्ते (path) को खोजें।

Graph Representation:

• Stage 1 → Stage 2 → Stage 3 → Stage 4 → Stage 5
• एजों में वजन निम्नलिखित है:
  • Stage 1 से Stage 2 (weight = 2)
  • Stage 2 से Stage 3 (weight = 3)
  • Stage 3 से Stage 4 (weight = 1)
  • Stage 4 से Stage 5 (weight = 4)

Step-by-step Process:

1. Stage 5 में न्यूनतम लागत: लक्ष्य नोड (Stage 5) से शुरुआत करें, जहां लागत 0 होगी क्योंकि यह अंतिम नोड है।

2. Stage 4 में न्यूनतम लागत: Stage 4 से Stage 5 तक जाने की लागत 4 है, इसलिए Stage 4 की न्यूनतम लागत 4 होगी।

3. Stage 3 में न्यूनतम लागत: Stage 3 से Stage 4 तक जाने की लागत 1 है, और Stage 4 से Stage 5 तक जाने की लागत 4 है, इसलिए Stage 3 की न्यूनतम लागत 1 + 4 = 5 होगी।

4. Stage 2 में न्यूनतम लागत: Stage 2 से Stage 3 तक जाने की लागत 3 है, और Stage 3 से Stage 4 तक जाने की लागत 5 है, इसलिए Stage 2 की न्यूनतम लागत 3 + 5 = 8 होगी।

5. Stage 1 में न्यूनतम लागत: Stage 1 से Stage 2 तक जाने की लागत 2 है, और Stage 2 से Stage 3 तक जाने की लागत 8 है, इसलिए Stage 1 की न्यूनतम लागत 2 + 8 = 10 होगी।

Final Answer:

स्रोत से लक्ष्य तक जाने का सबसे कम लागत वाला रास्ता 10 है।

निष्कर्ष:

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (DP) का उपयोग Multistage Graphs जैसी समस्याओं को हल करने में बहुत प्रभावी है, क्योंकि इसमें हम उप-समस्याओं के हल का पुनः उपयोग करके समय की बचत करते हैं और किसी भी प्रकार के ओवरलैपिंग की समस्या को हल करते हैं। इसके द्वारा हम समस्याओं को क्रमिक रूप से हल करके अंतिम समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

यदि आपको इस विषय या किसी अन्य हिस्से पर अधिक जानकारी चाहिए, तो कृपया बताएं!

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