Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
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- 1 Part 07 – Discrete Mathematics for GATE: Examples on Symmetry, Anti-Symmetry, and Asymmetry
- 1.1 1. Symmetric Relation (सममित संबंध)
- 1.2 2. Anti-Symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध)
- 1.3 3. Asymmetric Relation (असमान्य संबंध)
- 1.4 संबंधों की तुलना (Comparison Table)
- 1.5 निष्कर्ष
- 1.6 Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
- 1.7 B.A.(Prog) Mathematics Discipline Specific Course (DSC-1)
- 1.8 Discrete Mathematical Structures
- 2
Part 07 – Discrete Mathematics for GATE
- 3
Symmetric Relation (साम्य संबंध)
- 4
Anti-Symmetric Relation (विरोधी-साम्य संबंध)
- 5
Asymmetric Relation (असममित संबंध)
- 6
Difference Chart (तुलना तालिका):
- 7
GATE के लिए टिप्स:
Part 07 – Discrete Mathematics for GATE: Examples on Symmetry, Anti-Symmetry, and Asymmetry
1. Symmetric Relation (सममित संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R है, तो (b,a)∈R(b, a) \in R भी होना चाहिए।
Example 1: “Friendship Relation”
- अगर राम और श्याम दोस्त हैं, तो श्याम और राम भी दोस्त होंगे।
- यानी, यदि (राम,श्याम)∈R(राम, श्याम) \in R, तो (श्याम,राम)∈R(श्याम, राम) \in R भी होगा।
- इसलिए, यह संबंध Symmetric है।
Example 2: “Equality Relation ( = )”
- यदि a = b, तो b = a भी होगा।
- यानी, (a,b)∈R(a, b) \in R तो (b,a)∈R(b, a) \in R भी होगा।
- यह संबंध भी Symmetric है।
2. Anti-Symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R और (b,a)∈R(b, a) \in R दोनों सत्य हैं, तो a = b होना चाहिए।
Example 1: “Subset Relation (⊆)”
- यदि A ⊆ B और B ⊆ A, तो इसका मतलब A = B ही होगा।
- यानी, (A,B)∈R(A, B) \in R और (B,A)∈R(B, A) \in R का अर्थ है कि A और B समान (equal) हैं।
- इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।
Example 2: “Divisibility Relation (|)”
- यदि a | b (a, b को विभाजित करता है) और b | a दोनों सत्य हैं, तो इसका मतलब a = b होगा।
- उदाहरण: 4 | 4 और 6 | 6 संभव है, लेकिन 4 | 2 और 2 | 4 दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते।
- इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।
3. Asymmetric Relation (असमान्य संबंध)
यदि (a,b)∈R(a, b) \in R है, तो (b,a)∉R(b, a) \notin R होना चाहिए।
Example 1: “Less Than Relation (<)”
- यदि a < b है, तो b < a कभी नहीं हो सकता।
- उदाहरण: 3<73 < 7, लेकिन 7<37 < 3 गलत है।
- इसलिए, यह संबंध Asymmetric है।
Example 2: “Precedence Relation in Scheduling”
- यदि टास्क A टास्क B से पहले पूरा होना चाहिए, तो टास्क B टास्क A से पहले नहीं हो सकता।
- जैसे, अगर Exam से पहले Revision होना चाहिए, तो Revision के बाद Exam ही होगा, Exam पहले नहीं हो सकता।
- इसलिए, यह Asymmetric है।
संबंधों की तुलना (Comparison Table)
Relation Type | Definition | Example |
---|---|---|
Symmetric | यदि (a, b) ∈ R तो (b, a) भी ∈ R | दोस्ती (Friendship), समानता (Equality) |
Anti-Symmetric | यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R, तो a = b | सबसेट (⊆), विभाज्यता ( |
Asymmetric | यदि (a, b) ∈ R तो (b, a) ∉ R | छोटा-बड़ा (<), प्राथमिकता (Precedence) |
निष्कर्ष
- Symmetric संबंधों में यदि एक जोड़ी है, तो उसकी उल्टी जोड़ी भी होनी चाहिए।
- Anti-Symmetric संबंधों में यदि दो जोड़ी मौजूद हैं, तो वे समान होने चाहिए।
- Asymmetric संबंधों में कभी भी दोनों दिशाओं में संबंध नहीं हो सकता।
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Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.
B.A.(Prog) Mathematics Discipline Specific Course (DSC-1)
Discrete Mathematical Structures
Here is a clear and easy-to-understand Hindi explanation of Symmetric, Anti-Symmetric, and Asymmetric Relations with examples, useful for GATE, BSc, B.Tech, or any Discrete Mathematics course.
Part 07 – Discrete Mathematics for GATE
Symmetric, Anti-Symmetric, and Asymmetric Relations with Examples (in Hindi)
Symmetric Relation (साम्य संबंध)
परिभाषा:
यदि
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
तो रिलेशन Symmetric कहलाता है।
उदाहरण:
-
दोस्ती का संबंध:
यदि A, B का दोस्त है ⇒ B भी A का दोस्त है। -
Relation R = { (1, 2), (2, 1), (3, 3) } → Symmetric है।
Anti-Symmetric Relation (विरोधी-साम्य संबंध)
परिभाषा:
यदि
(a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R ⇒ a = b
तो रिलेशन Anti-Symmetric होता है।
उदाहरण:
-
≤ (less than or equal to) का संबंध:
अगर a ≤ b और b ≤ a ⇒ तो a = b होना चाहिए। -
Relation R = { (1, 1), (2, 2), (2, 3) } → Anti-Symmetric है
(क्योंकि (3, 2) इसमें नहीं है)
Asymmetric Relation (असममित संबंध)
परिभाषा:
यदि
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∉ R
तो रिलेशन Asymmetric होता है।
उदाहरण:
-
“is parent of”
अगर A, B का पिता है ⇒ B, A का पिता नहीं हो सकता। -
Relation R = { (1, 2), (2, 3) } → Asymmetric है
(कोई भी उल्टा जोड़ा नहीं है)
Difference Chart (तुलना तालिका):
संबंध का प्रकार | नियम | उदाहरण | क्या (a = b) शामिल हो सकता है? |
---|---|---|---|
Symmetric | (a, b) ⇒ (b, a) | दोस्ती, शादी | हाँ |
Anti-Symmetric | (a, b) और (b, a) ⇒ a = b | ≤, ⊆ | हाँ |
Asymmetric | (a, b) ⇒ (b, a) नहीं | पिता-पुत्र, बड़ा-छोटा | नहीं |
GATE के लिए टिप्स:
-
Symmetric में दोनों दिशाओं में रिलेशन होना चाहिए।
-
Anti-Symmetric में दोनों हो सकते हैं, लेकिन तभी जब a = b।
-
Asymmetric में दोनों कभी नहीं हो सकते।
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