previous year question papers gate in Hindi – GATE 1998 Relation The binary relation R.

Ali Seron Jason

3 months ago

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GATE CSE 1998 के प्रश्नपत्र में एक महत्वपूर्ण प्रश्न था जो बाइनरी रिलेशन (Binary Relation) पर आधारित था। यह प्रश्न सेट थ्योरी और एल्जेब्रा (Set Theory & Algebra) के अंतर्गत आता है।

Contents

1 प्रश्न विवरण:
2 विश्लेषण:
3 सही उत्तर:
4 अधिक जानकारी के लिए:

प्रश्न विवरण:

प्रश्न: सेट $A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}$ पर परिभाषित बाइनरी रिलेशन $RR$ निम्नलिखित है:

$R={(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}R = \{(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}$

प्रश्न: इस रिलेशन $RR$ की कौन-कौन सी गुणधर्म (properties) सत्य हैं?

विकल्प:
A. Reflexive, Symmetric and Transitive
B. Neither Reflexive, nor Irreflexive but Transitive
C. Irreflexive, Symmetric and Transitive
D. Irreflexive and Antisymmetric

विश्लेषण:

1. Reflexive (स्व-सम्बन्धी):

एक रिलेशन रिफ्लेक्सिव होता है यदि सेट के प्रत्येक तत्व $aa$ के लिए $(a,a)∈R(a,a) \in R$ हो।

यहाँ $(1,1),(2,2),(3,3)(1,1), (2,2), (3,3)$ मौजूद हैं, लेकिन $(4,4)(4,4)$ अनुपस्थित है।
निष्कर्ष: रिलेशन रिफ्लेक्सिव नहीं है।

2. Symmetric (सममित):

यदि $(a,b)∈R(a,b) \in R$ होने पर $(b,a)∈R(b,a) \in R$ भी हो, तो रिलेशन सममित होता है।

उदाहरण के लिए, $(2,1)∈R(2,1) \in R$ , लेकिन $(1,2)∉R(1,2) \notin R$ ।
निष्कर्ष: रिलेशन सममित नहीं है।

3. Transitive (सांक्रामक):

यदि $(a,b)∈R(a,b) \in R$ और $(b,c)∈R(b,c) \in R$ होने पर $(a,c)∈R(a,c) \in R$ भी हो, तो रिलेशन ट्रांजिटिव होता है।

उदाहरण के लिए, $(2,1)(2,1)$ और $(1,1)(1,1)$ मौजूद हैं, जिससे $(2,1)(2,1)$ पहले से ही मौजूद है।
अन्य सभी संभव संयोजनों के लिए भी यह गुण सत्य प्रतीत होता है।
निष्कर्ष: रिलेशन ट्रांजिटिव है।

4. Irreflexive (अस्व-सम्बन्धी):

यदि सेट के किसी भी तत्व $aa$ के लिए $(a,a)∉R(a,a) \notin R$ हो, तो रिलेशन इर्रिफ्लेक्सिव होता है।

यहाँ $(1,1),(2,2),(3,3)(1,1), (2,2), (3,3)$ मौजूद हैं।
निष्कर्ष: रिलेशन इर्रिफ्लेक्सिव नहीं है।

5. Antisymmetric (प्रतिसममित):

यदि $(a,b)∈R(a,b) \in R$ और $(b,a)∈R(b,a) \in R$ होने पर $a=ba = b$ हो, तो रिलेशन एंटीसिमेट्रिक होता है।

उदाहरण के लिए, $(2,1)∈R(2,1) \in R$ , लेकिन $(1,2)∉R(1,2) \notin R$ , इसलिए यह गुण सत्य हो सकता है।
हालांकि, चूंकि सममितता नहीं है, इसलिए एंटीसिमेट्रिक होने की संभावना बनी रहती है।
निष्कर्ष: रिलेशन एंटीसिमेट्रिक हो सकता है।

सही उत्तर:

विकल्प B: Neither Reflexive, nor Irreflexive but Transitive

अधिक जानकारी के लिए:

GATEOverflow पर प्रश्न विश्लेषण:
ExamSIDE पर प्रश्न और उत्तर:
GATE 1998 प्रश्नपत्र (PDF):

यदि आप इस विषय पर और अधिक उदाहरण, व्याख्या या अभ्यास प्रश्न चाहते हैं, तो कृपया बताएं। मैं आपकी सहायता करने के लिए तत्पर हूँ।

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प्रश्न विवरण: