Previous year gate question with answer in Hindi – GATE 2001 -Consider the following relation.

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यहाँ GATE 2001 (CSE) के एक महत्वपूर्ण प्रश्न का हिंदी में अनुवाद और विश्लेषण प्रस्तुत है, जो Set Theory & Algebra विषय से संबंधित है:

प्रश्न (GATE CSE 2001 – प्रश्न 1.2):

निम्नलिखित संबंधों पर विचार करें:

R₁(a, b): यदि $a + b$ पूर्णांकों के समुच्चय पर सम (even) है।
R₂(a, b): यदि $a + b$ पूर्णांकों के समुच्चय पर विषम (odd) है।
R₃(a, b): यदि $\cdot b > 0$ गैर-शून्य परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर।
R₄(a, b): यदि $\leq 2$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर।

निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

A. R₁ और R₂ समतुल्यता संबंध हैं; R₃ और R₄ नहीं हैं।
B. R₁ और R₃ समतुल्यता संबंध हैं; R₂ और R₄ नहीं हैं।
C. R₁ और R₄ समतुल्यता संबंध हैं; R₂ और R₃ नहीं हैं।
D. R₁, R₂, R₃ और R₄ सभी समतुल्यता संबंध हैं।

सही उत्तर: विकल्प B

विश्लेषण:

R₁(a, b): $a + b$ सम है।

प्रतिफलता (Reflexive): $a + a = 2 a$ हमेशा सम होता है।
सममितता (Symmetric): यदि $a + b$ सम है, तो $b + a$ भी सम होगा।
पारगम्यता (Transitive): यदि $a + b$ और $b + c$ दोनों सम हैं, तो $a + c$ भी सम होगा।
R₁ एक समतुल्यता संबंध है।

R₂(a, b): $a + b$ विषम है।

प्रतिफलता: $a + a = 2 a$ हमेशा सम होता है, इसलिए $(a, a)$ संबंध में नहीं है।
R₂ समतुल्यता संबंध नहीं है।

R₃(a, b): $\cdot b > 0$

प्रतिफलता: $\cdot a = a^2 > 0$ यदि $\neq 0$ ।
सममितता: यदि $\cdot b > 0$ , तो $\cdot a > 0$ भी होगा।
पारगम्यता: यदि $\cdot b > 0$ और $\cdot c > 0$ , तो $\cdot c > 0$ होगा।
R₃ एक समतुल्यता संबंध है।

R₄(a, b): $\leq 2$

प्रतिफलता: $\leq 2$
सममितता: $∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$ , इसलिए यदि एक ≤ 2 है, तो दूसरा भी होगा।
पारगम्यता: यदि $\leq 2$ और $\leq 2$ , तो $\leq 4$ हो सकता है, जो 2 से अधिक है।
- उदाहरण: $a = 1, b = 3, c = 5$ : $∣1 - 3∣ = 2$ , $∣3 - 5∣ = 2$ , लेकिन $∣1 - 5∣ = 4 > 2$
  R₄ समतुल्यता संबंध नहीं है।

निष्कर्ष:

R₁: समतुल्यता संबंध
R₂: नहीं
R₃: समतुल्यता संबंध
R₄: नहीं

इसलिए, सही उत्तर है: विकल्प B

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