Previous year gate question paper in Hindi-GATE 2025 Reflexive Relation Mr. X claims the following.

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GATE CSE 1999 के प्रश्नपत्र में एक महत्वपूर्ण प्रश्न था जो संबंधों (Relations) की गुणात्मक विशेषताओं पर आधारित था, विशेष रूप से रिफ्लेक्सिव (Reflexive), सिमेट्रिक (Symmetric), और ट्रांजिटिव (Transitive) गुणों के संदर्भ में।

प्रश्न विवरण:

(a) Mr. X का दावा: यदि कोई संबंध RR सिमेट्रिक और ट्रांजिटिव है, तो वह रिफ्लेक्सिव भी होगा।

प्रस्तुत प्रमाण:

“यदि xRyxRy, तो सिमेट्री के अनुसार yRxyRx होगा। ट्रांजिटिविटी के अनुसार, xRyxRy और yRxyRx से निष्कर्ष निकलता है कि xRxxRx। अतः, RR रिफ्लेक्सिव है।”

प्रश्न: Mr. X के प्रमाण में त्रुटि को संक्षेप में स्पष्ट करें।

(b) एक ऐसा उदाहरण प्रस्तुत करें जहाँ कोई संबंध सिमेट्रिक और ट्रांजिटिव हो, लेकिन रिफ्लेक्सिव न हो।

Mr. X के प्रमाण में त्रुटि:

Mr. X का प्रमाण इस धारणा पर आधारित है कि यदि xRyxRy है, तो सिमेट्री और ट्रांजिटिविटी के माध्यम से xRxxRx सिद्ध किया जा सकता है। हालांकि, यह तर्क केवल उन तत्वों पर लागू होता है जिनके लिए xRyxRy पहले से ही सत्य है।

मुख्य त्रुटि: संबंध RR के रिफ्लेक्सिव होने के लिए आवश्यक है कि सभी xx के लिए xRxxRx सत्य हो, न कि केवल उन xx के लिए जिनके लिए कोई yy ऐसा है कि xRyxRy सत्य हो। यदि कोई ऐसा xx है जिसके लिए xRyxRy किसी भी yy के लिए सत्य नहीं है, तो xRxxRx को सिद्ध नहीं किया जा सकता, और इस प्रकार RR रिफ्लेक्सिव नहीं होगा।

उदाहरण:

मान लीजिए, सेट A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} और संबंध R={(1,2),(2,1)}R = \{(1, 2), (2, 1)\} है।

• सिमेट्रिक: यदि (1,2)∈R(1, 2) \in R, तो (2,1)∈R(2, 1) \in R भी है। अतः, RR सिमेट्रिक है।
• ट्रांजिटिव: यहाँ कोई ऐसा x,y,zx, y, z नहीं है कि xRyxRy और yRzyRz दोनों सत्य हों, जिससे xRzxRz की आवश्यकता हो। अतः, ट्रांजिटिविटी की शर्त स्वतः पूरी हो जाती है।
• रिफ्लेक्सिव: (1,1),(2,2),(3,3)(1, 1), (2, 2), (3, 3) में से कोई भी RR में नहीं है। अतः, RR रिफ्लेक्सिव नहीं है।

यह उदाहरण दर्शाता है कि एक संबंध सिमेट्रिक और ट्रांजिटिव हो सकता है, लेकिन फिर भी रिफ्लेक्सिव नहीं हो सकता।

अधिक जानकारी के लिए:

आप इस प्रश्न और उसके उत्तर को निम्नलिखित स्रोतों पर विस्तार से पढ़ सकते हैं:

• GATE Overflow:
• Examside:
• GATE 1999 प्रश्नपत्र (PDF):

यदि आप इस विषय पर और अधिक उदाहरण, व्याख्या या अभ्यास प्रश्न चाहते हैं, तो कृपया बताएं। मैं आपकी सहायता करने के लिए तत्पर हूँ।

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