Previous year gate question of discrete mathematics in Hindi – GATE 2025 A relation R is defined

Ali Seron Jason

3 months ago

यहाँ GATE परीक्षा में “Relation R is defined…” से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण प्रश्नों का हिंदी में विवरण और विश्लेषण प्रस्तुत किया गया है:

Contents

प्रश्न: एक संबंध R को पूर्णांकों के क्रमबद्ध युग्मों पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(x, y) R (u, v) यदि x < u और y > v

विकल्प:
A. आंशिक क्रम (Partial Order)
B. सममित (Symmetric)
C. पारगम्य (Transitive)
D. उपरोक्त में से कोई नहीं

उत्तर: D. उपरोक्त में से कोई नहीं

विश्लेषण:

प्रतिफलता (Reflexivity): किसी भी (x, y) के लिए x < x और y > y असत्य है; अतः R प्रतिफल नहीं है।
सममिति (Symmetry): यदि (x, y) R (u, v), तो x < u और y > v; लेकिन (u, v) R (x, y) के लिए u < x और v > y होना चाहिए, जो आवश्यक नहीं है; अतः R सममित नहीं है।
पारगमता (Transitivity): यदि (x, y) R (u, v) और (u, v) R (a, b), तो x < u < a और y > v > b; अतः x < a और y > b, जिससे (x, y) R (a, b); अतः R पारगम्य है।

हालांकि R पारगम्य है, लेकिन यह प्रतिफल और सममित नहीं है, इसलिए यह आंशिक क्रम नहीं है।

प्रश्न: एक द्विआधारी संबंध R को N × N पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(a, b) R (c, d) यदि a ≤ c या b ≤ d

विकल्प:
A. R प्रतिफल है
B. R पारगम्य है
C. R प्रतिफल और पारगम्य दोनों है
D. R न तो प्रतिफल है और न ही पारगम्य है

उत्तर: A. R प्रतिफल है

विश्लेषण:

प्रतिफलता (Reflexivity): किसी भी (a, b) के लिए a ≤ a और b ≤ b सत्य है; अतः R प्रतिफल है।
पारगमता (Transitivity): यदि (a, b) R (c, d) और (c, d) R (e, f), तो a ≤ c या b ≤ d और c ≤ e या d ≤ f; लेकिन इससे यह आवश्यक नहीं है कि a ≤ e या b ≤ f; अतः R पारगम्य नहीं है।

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