Permutation and Combination Trigonometry Triangle Circle Mathematical Induction

यहाँ आपके द्वारा पूछे गए सभी टॉपिक — Permutation and Combination, Trigonometry, Triangle, Circle, और Mathematical Induction — के लिए एकदम आसान, शॉर्ट ट्रिक के साथ संक्षिप्त नोट्स हिंदी में दिए जा रहे हैं। ये खासतौर पर गेट (GATE), JEE, NDA, SSC, UPSC, बोर्ड परीक्षा आदि की तैयारी करने वाले छात्रों के लिए उपयोगी हैं।

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1. Permutation and Combination (संचय और संचयन)

Permutation (क्रमचय) – जब क्रम (order) महत्वपूर्ण होता है।

nPr=n!(n−r)!^nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} Trick: यदि सीटों पर लोग बैठ रहे हों, रंगों को अलग-अलग क्रम में लगाया जा रहा हो — तो permutation लगेगा।

Example:

5 लोगों में से 3 को एक लाइन में बैठाना है —

5P3=5!(5−3)!=60^5P_3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = 60

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Combination (संचयन) – जब क्रम (order) मायने नहीं रखता।

nCr=n!r!(n−r)!^nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!} Trick: टीम, समूह, समिति बनानी हो — तो combination का प्रयोग करो।

Example:

5 खिलाड़ियों में से 3 का चयन करना है —

5C3=10^5C_3 = 10

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2. Trigonometry (त्रिकोणमिति)

Basic Identities:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Important Values (0°, 30°, 45°, 60°, 90°):

θ	sinθ	cosθ	tanθ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	1/√2	1/√2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	∞

Trick to remember:
Sin: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 → sin0 to sin90
Cos: उल्टा (reverse of sin)

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3. Triangle (त्रिभुज)

Triangle Angle Sum Property:

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Heron’s Formula (area):

Area=s(s−a)(s−b)(s−c)where s=a+b+c2\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{where } s = \frac{a + b + c}{2}

Pythagoras Theorem:

a2+b2=c2(Right-angled triangle)a^2 + b^2 = c^2 \quad (\text{Right-angled triangle})

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4. Circle (वृत्त)

Formulas:

• परिधि = 2πr2\pi r
• क्षेत्रफल = πr2\pi r^2
• Sector Area = θ360∘×πr2\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
• Chord, Diameter, Radius — basic geometric properties

Important Points:

• वृत्त के व्यास के कोण = 90°
• दो समकोण chords का center पर दूरी निकालने के लिए perpendicular concept

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5. Mathematical Induction (गणितीय आगमन)

Steps:

1. Base Case: n=1n = 1 के लिए सत्य दिखाओ।
2. Inductive Hypothesis: मान लो n=kn = k के लिए सत्य है।
3. Inductive Step: फिर दिखाओ कि n=k+1n = k+1 के लिए भी सत्य है।

Example:

सिद्ध कीजिए:

1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} Step 1: n=1n = 1
LHS = 1, RHS = 1 → सही है।

Step 2: मान लो n=kn = k के लिए
LHS = 1+2+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}

Step 3: अब n=k+1n = k+1 के लिए:
LHS = k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
⇒ RHS से मेल खा गया। सिद्ध हो गया।

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Permutation and Combination Trigonometry Triangle Circle Mathematical Induction

Algebra & trigonometry / Michael Sullivan