Part 11-Discrete mathematics for computer science in Hindi- Equivalence class and partitions.

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अलगात्मक गणित (Discrete Mathematics) – भाग 11

समानता वर्ग (Equivalence Class) और विभाजन (Partitions)

Discrete Mathematics में समानता वर्ग (Equivalence Class) और विभाजन (Partition) महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, जो समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) और संबंधों (Relations) से संबंधित हैं।

1. समानता संबंध (Equivalence Relation) क्या है?

यदि R कोई संबंध (Relation) हो समुच्चय (Set) S पर, तो R को समानता संबंध (Equivalence Relation) कहा जाता है यदि वह इन तीन गुणों को पूरा करता है:

(i) प्रत्यावर्तीता (Reflexive):

$$\forall a\in S,(a,a)\in R$$

अर्थात्, हर तत्व स्वयं से संबंधित होना चाहिए।

(ii) सममितता (Symmetric):

$$\forall a,b\in S,\text{ यदि }(a,b)\in R\text{ तो }(b,a)\in R$$

अर्थात्, यदि a, b संबंधित हैं, तो b, a भी संबंधित होंगे।

(iii) संक्रामकता (Transitive):

$$\forall a,b,c\in S,\text{ यदि }(a,b)\in R\text{ और }(b,c)\in R\text{ तो }(a,c)\in R$$

अर्थात्, यदि a, b संबंधित हैं और b, c भी संबंधित हैं, तो a, c भी संबंधित होंगे।

यदि कोई संबंध (Relation) इन तीनों गुणों को पूरा करता है, तो उसे समानता संबंध (Equivalence Relation) कहते हैं।

2. समानता वर्ग (Equivalence Class) क्या है?

यदि R एक समानता संबंध है S पर, तो हर तत्व a ∈ S का एक समानता वर्ग (Equivalence Class) परिभाषित होता है:

$$[a]=\{x\in S|(a,x)\in R\}$$

समानता वर्ग [a] वह समुच्चय होता है, जिसमें S के वे सभी तत्व होते हैं जो a से संबंधित होते हैं।

उदाहरण 1: समानता वर्ग की गणना

समुच्चय:

$$S=\{0,1,2,3,4,5,6\}$$

संबंध:

$$R=\{(a,b)|a\equiv b(\text{mod }3)\}$$

 इसका मतलब है कि a और b का शेषफल (remainder) समान होना चाहिए जब उन्हें 3 से विभाजित किया जाए।

समानता वर्ग निकालें:

यह विभाजन (Partition) बनाता है, क्योंकि हर तत्व किसी न किसी वर्ग में आ जाता है और कोई भी दो वर्ग ओवरलैप नहीं होते।

3. विभाजन (Partition) क्या है?

 किसी समुच्चय S का विभाजन (Partition), S के गैर-रिक्त उपसमुच्चयों का एक समुच्चय होता है जो इन शर्तों को पूरा करता है:

प्रत्येक तत्व किसी एक उपसमुच्चय में जरूर हो।
कोई भी दो उपसमुच्चय ओवरलैप नहीं करते।
सभी उपसमुच्चयों का संयोजन (Union) पूरे S को बनाता है।

उदाहरण 2: विभाजन बनाना

समुच्चय:

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

संभावित विभाजन:

P1={{1,2},{3,4},{5,6}}P_1 = \{\{1, 2\}, \{3, 4\}, \{5, 6\}\}P1​={{1,2},{3,4},{5,6}} P2={{1,3,5},{2,4,6}}P_2 = \{\{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6\}\}P2​={{1,3,5},{2,4,6}}

यह दोनों विभाजन सही हैं क्योंकि प्रत्येक तत्व को कवर किया गया है और कोई भी दो उपसमुच्चय ओवरलैप नहीं कर रहे हैं।

4. समानता वर्ग और विभाजन में संबंध

 यदि कोई समानता संबंध (Equivalence Relation) दिया गया हो, तो वह S को समानता वर्गों में विभाजित करता है।
समानता वर्गों का संघ (Union) पूरा S देता है, और वे ओवरलैप नहीं करते, इसलिए वे S का एक विभाजन बनाते हैं।

इसका मतलब है कि हर समानता संबंध, S के एक विभाजन को परिभाषित करता है।

5. महत्वपूर्ण प्रश्न (GATE & UGC NET Level)

Q1: यदि समुच्चय S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} पर संबंध R दिया गया है:

$$R=\{(a,b)|a-b\text{ एक सम संख्या है}\}$$

तो इसके समानता वर्ग क्या होंगे?

उत्तर:
 यदि $a-b$ सम (even) है, तो a और b का अंतर सम संख्या होगा, यानी वे एक ही वर्ग में होंगे।
समानता वर्ग:

$$[1]=\{1,3,5\},[2]=\{2,4,6\}$$

6. निष्कर्ष (Conclusion)

समानता संबंध वह संबंध होता है जो प्रत्यावर्ती, सममित और संक्रामक होता है।
समानता वर्ग एक समुच्चय के उन सभी तत्वों का समुच्चय होता है, जो एक विशेष तत्व से संबंधित होते हैं।
विभाजन एक समुच्चय के गैर-ओवरलैपिंग उपसमुच्चयों का एक समूह होता है, जिनका संघ पूरे समुच्चय को देता है।
हर समानता संबंध एक विभाजन बनाता है, और हर विभाजन एक समानता संबंध दर्शा सकता है।

 क्या आप और उदाहरण चाहते हैं? या GATE/NET के लिए और प्रश्नों की व्याख्या चाहिए? 

डिस्क्रीट गणित में समानता वर्ग (Equivalence Class) और विभाजन (Partition) दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो सेट थ्योरी और संबंधों (Relations) की गहराई से समझ प्रदान करती हैं।

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समानता संबंध (Equivalence Relation)

एक संबंध $R$ को समानता संबंध कहा जाता है यदि वह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

1. प्रतिफलता (Reflexive): हर तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
   उदाहरण: $a\sim a$

2. सममिति (Symmetric): यदि $a\sim b$, तो $b\sim a$ भी होना चाहिए।

3. सांक्रामकता (Transitive): यदि $a\sim b$ और $b\sim c$, तो $a\sim c$ होना चाहिए।

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समानता वर्ग (Equivalence Class)

यदि $R$ एक समानता संबंध है और $a$ एक तत्व है, तो $a$ का समानता वर्ग $[a]$ उन सभी तत्वों का सेट है जो $a$ के समान हैं:

$$[a]=\{x\in S\mid x\sim a\}$$

उदाहरण: यदि हम पूर्णांकों का सेट $\mathbb{Z}$ लें और संबंध $a\sim b$ को परिभाषित करें यदि $a-b$ 3 से विभाज्य हो, तो:

• $[0]=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \}$

• $[1]=\{\dots ,-5,-2,1,4,7,\dots \}$

• $[2]=\{\dots ,-4,-1,2,5,8,\dots \}$GeeksforGeeks

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विभाजन (Partition)

एक सेट का विभाजन उसके तत्वों के ऐसे उपसेट्स का संग्रह है जो:

• पारस्परिक रूप से असंबंधित (Mutually Disjoint): कोई भी दो उपसेट्स एक भी सामान्य तत्व साझा नहीं करते।

• संपूर्ण सेट को कवर करते हैं: सभी उपसेट्स का संघ मूल सेट के बराबर होता है।

उदाहरण: सेट $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ का एक विभाजन हो सकता है:

• $\{\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}\}$

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समानता वर्ग और विभाजन का संबंध

• हर समानता संबंध एक सेट को उसके समानता वर्गों में विभाजित करता है।

• प्रत्येक विभाजन एक समानता संबंध को परिभाषित करता है जहाँ दो तत्व तभी संबंधित होते हैं जब वे एक ही उपसेट में हों।

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हिंदी में और समझने के लिए वीडियो संसाधन

यदि आप इन अवधारणाओं को और विस्तार से हिंदी में समझना चाहते हैं, तो निम्नलिखित वीडियो सहायक हो सकते हैं:

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