Part 07-Discrete Mathematics for gate- Example based on symmetry anti-symmetry and asymmetry.

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Part 07 – Discrete Mathematics for GATE: Examples on Symmetry, Anti-Symmetry, and Asymmetry

1. Symmetric Relation (सममित संबंध)

यदि $(a,b)\in R$ है, तो $(b,a)\in R$ भी होना चाहिए।

Example 1: “Friendship Relation”

• अगर राम और श्याम दोस्त हैं, तो श्याम और राम भी दोस्त होंगे।
• यानी, यदि $(राम,श्याम)\in R$, तो $(श्याम,राम)\in R$ भी होगा।
• इसलिए, यह संबंध Symmetric है।

Example 2: “Equality Relation ( = )”

• यदि a = b, तो b = a भी होगा।
• यानी, $(a,b)\in R$ तो $(b,a)\in R$ भी होगा।
• यह संबंध भी Symmetric है।

2. Anti-Symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध)

यदि $(a,b)\in R$ और $(b,a)\in R$ दोनों सत्य हैं, तो a = b होना चाहिए।

Example 1: “Subset Relation (⊆)”

• यदि A ⊆ B और B ⊆ A, तो इसका मतलब A = B ही होगा।
• यानी, $(A,B)\in R$ और $(B,A)\in R$ का अर्थ है कि A और B समान (equal) हैं।
• इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।

Example 2: “Divisibility Relation (|)”

• यदि a | b (a, b को विभाजित करता है) और b | a दोनों सत्य हैं, तो इसका मतलब a = b होगा।
• उदाहरण: 4 | 4 और 6 | 6 संभव है, लेकिन 4 | 2 और 2 | 4 दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते।
• इसलिए, यह संबंध Anti-Symmetric है।

3. Asymmetric Relation (असमान्य संबंध)

यदि $(a,b)\in R$ है, तो $(b,a)\notin R$ होना चाहिए।

Example 1: “Less Than Relation (<)”

• यदि a < b है, तो b < a कभी नहीं हो सकता।
• उदाहरण: $3<7$, लेकिन $7<3$ गलत है।
• इसलिए, यह संबंध Asymmetric है।

Example 2: “Precedence Relation in Scheduling”

• यदि टास्क A टास्क B से पहले पूरा होना चाहिए, तो टास्क B टास्क A से पहले नहीं हो सकता।
• जैसे, अगर Exam से पहले Revision होना चाहिए, तो Revision के बाद Exam ही होगा, Exam पहले नहीं हो सकता।
• इसलिए, यह Asymmetric है।

संबंधों की तुलना (Comparison Table)

निष्कर्ष

• Symmetric संबंधों में यदि एक जोड़ी है, तो उसकी उल्टी जोड़ी भी होनी चाहिए।
• Anti-Symmetric संबंधों में यदि दो जोड़ी मौजूद हैं, तो वे समान होने चाहिए।
• Asymmetric संबंधों में कभी भी दोनों दिशाओं में संबंध नहीं हो सकता।

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