Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

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 डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) – Cube Root और Fourth Root of Unity (GATE के लिए)

 यूनिटी के मूल (Roots of Unity) क्या होते हैं?

Roots of Unity वे संख्याएँ होती हैं, जिनका कोई घात (Power) लेने पर परिणाम 1 आता है।
किसी संख्या के nवें मूल (n-th roots) का उपयोग विभिन्न गणितीय और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में किया जाता है।
सबसे महत्वपूर्ण Cube Root of Unity (तीसरा मूल) और Fourth Root of Unity (चौथा मूल) होते हैं।

 Cube Root of Unity (तीसरा मूल) क्या होता है?

 परिभाषा (Definition):

तीसरे क्रम का यूनिटी मूल वे संख्याएँ होती हैं, जो तीसरी घात (Cube) लेने पर 1 देती हैं।

सामान्य रूप:

x3=1x^3 = 1x3=1

इस समीकरण को हल करने पर हमें Cube Roots of Unity मिलते हैं।

 Cube Root of Unity के मान

तीसरे मूल की तीन मान होते हैं:

1,ω,ω21, \omega, \omega^21,ω,ω2

जहाँ ω एक मूलभूत Cube Root of Unity है और इसका मान होता है:

ω=−1+3i2,ω2=−1−3i2\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}ω=2−1+3​i​,ω2=2−1−3​i​

जहाँ i एक कल्पनात्मक संख्या (Imaginary Number) है और i2=−1i^2 = -1i2=−1 होता है।

महत्वपूर्ण गुण:
1⃣ ω3=1\omega^3 = 1ω3=1
2⃣ 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 01+ω+ω2=0
3⃣ ω2=1ω\omega^2 = \frac{1}{\omega}ω2=ω1​

उदाहरण:
यदि हमें 2+3ω+4ω22 + 3\omega + 4\omega^22+3ω+4ω2 का मान निकालना हो, तो हम ऊपर दिए गए गुणों का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

 Fourth Root of Unity (चौथा मूल) क्या होता है?

 परिभाषा (Definition):

चौथे क्रम के यूनिटी मूल वे संख्याएँ होती हैं, जो चौथी घात (Fourth Power) लेने पर 1 देती हैं।

सामान्य रूप:

x4=1x^4 = 1x4=1

इस समीकरण को हल करने पर हमें Fourth Roots of Unity मिलते हैं।

 Fourth Root of Unity के मान

चौथे मूल के चार मान होते हैं:

$$1,-1,i,-i$$

महत्वपूर्ण गुण:
1⃣ i2=−1i^2 = -1i2=−1 और i4=1i^4 = 1i4=1
2⃣ इन मूलों को Argand Plane (ज्यामितीय रूप) में दर्शाने पर, ये 90° के अंतराल पर स्थित होते हैं।
3⃣ चौथे मूल का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग और ट्रांसफॉर्म्स (Fourier Transform) में किया जाता है।

उदाहरण:
यदि हमें $1+i-1-i$ निकालना हो, तो उत्तर 0 आएगा क्योंकि सभी मूल एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं।

 निष्कर्ष (Conclusion)

Cube Root of Unity के तीन मान होते हैं: 1,ω,ω21, \omega, \omega^21,ω,ω2, जिनका योग 0 होता है।
Fourth Root of Unity के चार मान होते हैं: $1,-1,i,-i$, जो 90° पर स्थित होते हैं।
 ये ज्यामितीय और गणितीय अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

 क्या आपको कोई विशेष उदाहरण या विस्तृत स्पष्टीकरण चाहिए?

Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

Mathematics (Discrete Structure).pdf

SK Mondal’s – GATE Mathematics

Cubes and Cube Roots

बिलकुल! नीचे दिया गया है Discrete Mathematics – GATE के लिए (Day 06, Part 08) का एक सरल हिंदी नोट्स जिसमें शामिल है:

Cube Root और Fourth Root of Unity (हिन्दी में)

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Roots of Unity क्या होते हैं?

Roots of Unity वे सभी संख्याएँ होती हैं जो किसी निश्चित घात पर जाकर 1 बन जाती हैं।

मतलब:

• अगर zn=1z^n = 1, तो zz को n-th root of unity कहते हैं।

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1. Cube Root of Unity (घनमूल)

हम z3=1z^3 = 1 को हल करते हैं।

इसका मतलब:

हमें उन सभी complex numbers को ढूंढना है जो z×z×z=1z \times z \times z = 1 बनाएं।

Cube roots of unity होते हैं:

1, ω,ω2\text{1, } \omega, \omega^2

जहाँ:

• ω=−12+32i\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i
• ω2=−12−32i\omega^2 = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i

Important Properties:

1. ω3=1\omega^3 = 1
2. 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0
3. ये तीनों जड़ें इकाई वृत्त (unit circle) पर स्थित होती हैं और 120° पर एक-दूसरे से अलग होती हैं।

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2. Fourth Root of Unity (चतुर्थमूल)

हम z4=1z^4 = 1 को हल करते हैं।

Fourth roots of unity होते हैं:

1, −1,i,−i\text{1, } -1, i, -i

जहाँ:

• i=−1i = \sqrt{-1}

Important Properties:

1. i2=−1i^2 = -1, i4=1i^4 = 1
2. चारों root बराबर कोण (90°) पर unit circle पर होते हैं।
3. Complex Plane में यह 4 दिशाओं में बंटे होते हैं — East (1), West (-1), North (i), South (-i)

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GATE के लिए क्यों ज़रूरी है?

• ये सवाल अक्सर complex numbers, graph theory, और group theory के concepts में पूछे जाते हैं।
• nthn^{th} roots of unity एक cyclic group बनाते हैं — ये Discrete Maths में group theory का practical उदाहरण है।

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Quick Revision Table:

Root Type	Equation	Roots
Cube Root	z3=1z^3 = 1	1,ω,ω21, \omega, \omega^2
Fourth Root	z4=1z^4 = 1	1,−1,i,−i1, -1, i, -i

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मोटिवेशनल लाइन:

“Complex संख्या मुश्किल नहीं है, वो सिर्फ आपके imagination को एक नई दिशा देती है!”

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यदि आप चाहें, मैं इस टॉपिक का:

• PDF Handout
• Visual Chart (Complex Plane with Roots)
• या एक GATE के सवालों का अभ्यास सेट भी तैयार कर सकता हूँ।

बताइए कैसे चाहिए?