Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

 डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) – Cube Root और Fourth Root of Unity (GATE के लिए)

 यूनिटी के मूल (Roots of Unity) क्या होते हैं?

Roots of Unity वे संख्याएँ होती हैं, जिनका कोई घात (Power) लेने पर परिणाम 1 आता है।
किसी संख्या के nवें मूल (n-th roots) का उपयोग विभिन्न गणितीय और इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में किया जाता है।
सबसे महत्वपूर्ण Cube Root of Unity (तीसरा मूल) और Fourth Root of Unity (चौथा मूल) होते हैं।

 Cube Root of Unity (तीसरा मूल) क्या होता है?

 परिभाषा (Definition):

तीसरे क्रम का यूनिटी मूल वे संख्याएँ होती हैं, जो तीसरी घात (Cube) लेने पर 1 देती हैं।

सामान्य रूप:

x3=1x^3 = 1x3=1

इस समीकरण को हल करने पर हमें Cube Roots of Unity मिलते हैं।

 Cube Root of Unity के मान

तीसरे मूल की तीन मान होते हैं:

1,ω,ω21, \omega, \omega^21,ω,ω2

जहाँ ω एक मूलभूत Cube Root of Unity है और इसका मान होता है:

ω=−1+3i2,ω2=−1−3i2\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}ω=2−1+3​i​,ω2=2−1−3​i​

जहाँ i एक कल्पनात्मक संख्या (Imaginary Number) है और i2=−1i^2 = -1i2=−1 होता है।

महत्वपूर्ण गुण:
ω3=1\omega^3 = 1ω3=1
1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 01+ω+ω2=0
ω2=1ω\omega^2 = \frac{1}{\omega}ω2=ω1​

उदाहरण:
यदि हमें 2+3ω+4ω22 + 3\omega + 4\omega^22+3ω+4ω2 का मान निकालना हो, तो हम ऊपर दिए गए गुणों का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

 Fourth Root of Unity (चौथा मूल) क्या होता है?

 परिभाषा (Definition):

चौथे क्रम के यूनिटी मूल वे संख्याएँ होती हैं, जो चौथी घात (Fourth Power) लेने पर 1 देती हैं।

सामान्य रूप:

x4=1x^4 = 1x4=1

इस समीकरण को हल करने पर हमें Fourth Roots of Unity मिलते हैं।

 Fourth Root of Unity के मान

चौथे मूल के चार मान होते हैं:

$$1,-1,i,-i$$

महत्वपूर्ण गुण:
i2=−1i^2 = -1i2=−1 और i4=1i^4 = 1i4=1
इन मूलों को Argand Plane (ज्यामितीय रूप) में दर्शाने पर, ये 90° के अंतराल पर स्थित होते हैं।
चौथे मूल का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग और ट्रांसफॉर्म्स (Fourier Transform) में किया जाता है।

उदाहरण:
यदि हमें $1+i-1-i$ निकालना हो, तो उत्तर 0 आएगा क्योंकि सभी मूल एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं।

 निष्कर्ष (Conclusion)

Cube Root of Unity के तीन मान होते हैं: 1,ω,ω21, \omega, \omega^21,ω,ω2, जिनका योग 0 होता है।
Fourth Root of Unity के चार मान होते हैं: $1,-1,i,-i$, जो 90° पर स्थित होते हैं।
 ये ज्यामितीय और गणितीय अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

 क्या आपको कोई विशेष उदाहरण या विस्तृत स्पष्टीकरण चाहिए?

Day 06Part 08- Discrete mathematics for gate in Hindi- Cube root and Fourth root of unity.

Mathematics (Discrete Structure).pdf

SK Mondal’s – GATE Mathematics

Cubes and Cube Roots