Day 05Part 02- Discrete mathematics for gate in Hindi-Type of quantifiers of predicate logic.

Day 05Part 02- Discrete mathematics for gate in Hindi-Type of quantifiers of predicate logic.

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यहाँ पर Discrete Mathematics (GATE के लिए) के अंतर्गत Predicate Logic के Quantifiers का सरल और संपूर्ण हिंदी में विवरण दिया गया है:

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Day 05 Part 02 – Predicate Logic के Quantifiers (Hindi में)

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Quantifiers क्या होते हैं?

Quantifiers का उपयोग predicate logic में किया जाता है ताकि हम यह बता सकें कि कोई कथन (statement) कितने तत्वों पर लागू होता है — जैसे “सभी के लिए”, “कुछ के लिए” आदि।

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Quantifiers के प्रकार (Types of Quantifiers):

1. Universal Quantifier (सार्वभौमिक परिमापक)

Symbol: ∀ (For all / सभी के लिए)

• यह बताता है कि कोई कथन सभी वस्तुओं के लिए सत्य है।
• Structure: ∀x P(x) का मतलब है “सभी x के लिए, P(x) सत्य है।”

उदाहरण:

• ∀x ∈ N, x + 0 = x
  ➤ “प्रत्येक प्राकृतिक संख्या x के लिए, x + 0 = x होता है।”

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2. Existential Quantifier (अस्तित्व सूचक परिमापक)

Symbol: ∃ (There exists / कोई एक तो ऐसा है…)

• यह बताता है कि कम से कम एक वस्तु ऐसी है जिसके लिए कथन सत्य है।
• Structure: ∃x P(x) का मतलब है “कम से कम एक x के लिए, P(x) सत्य है।”

उदाहरण:

• ∃x ∈ Z, x² = 4
  ➤ “ऐसा कोई पूर्णांक x है जिसके लिए x² = 4 है।” (जैसे x = 2 या -2)

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Important Concepts (याद रखने योग्य बातें):

Quantifier	Symbol	हिंदी में अर्थ	इंग्लिश में अर्थ
Universal	∀	सभी x के लिए	For all / For every
Existential	∃	कोई एक ऐसा x मौजूद है	There exists / At least one

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Negation of Quantifiers (विलोम / नकारात्मक रूप)

Original Statement	Negation Form
∀x P(x)	∃x ¬P(x)
(“सभी के लिए सत्य है”)	(“कम से कम एक के लिए असत्य है”)
∃x P(x)	∀x ¬P(x)
(“कुछ के लिए सत्य है”)	(“सभी के लिए असत्य है”)

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GATE Point of View:

• Predicate logic में quantifiers से जुड़े सवाल अक्सर आते हैं जैसे:
  • सही विलोम (negation) निकालना
  • Quantified statements को English में या symbolic रूप में बदलना
  • Statement का Truth value निकालना

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Practice Example:

कथन: “हर छात्र पास हुआ।”
➤ Symbolically: ∀x ∈ Students, Passed(x)

विलोम: “कम से कम एक छात्र पास नहीं हुआ।”
➤ ∃x ∈ Students, ¬Passed(x)

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