Day 03Part 10- Discrete mathematics – Introduction of Lattices and and it’s type in Very easy ways.

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 Day 03 | Part 10 – Discrete Mathematics

 Introduction to Lattices & Their Types (Easy Explanation)

 What is a Lattice?

A Lattice is a type of algebraic structure in Discrete Mathematics that helps in organizing elements in a structured way. It is a partially ordered set (poset) where every two elements have:

• A Least Upper Bound (LUB) called Supremum or Join (∨)
• A Greatest Lower Bound (GLB) called Infimum or Meet (∧)

Example of a Lattice:
Consider the set {1, 2, 4, 8} with the divisibility relation (|)

• LUB (Join ∨): The smallest number that is divisible by both.
• GLB (Meet ∧): The largest number that divides both.

Join (∨): 2 ∨ 4 = 4 (smallest multiple of both)
Meet (∧): 2 ∧ 4 = 2 (largest common divisor)

 If a poset satisfies both Join & Meet properties, it is a Lattice!

 Types of Lattices

 1. Bounded Lattice

A Lattice with the greatest (1) & least (0) elements.
 Example: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 12} under divisibility.

• 0 is the least element (divides all).
• 12 is the greatest element (divisible by all).

 2. Distributive Lattice

A Lattice where Join (∨) and Meet (∧) distribute over each other:
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

Example: The set {1, 2, 3, 6} under divisibility is distributive.

 3. Complemented Lattice

A Bounded Lattice with a Complement (¬A) such that:

• A ∨ (¬A) = 1
• A ∧ (¬A) = 0

 Example: The Boolean algebra {0,1} is a Complemented Lattice.

 4. Modular Lattice

A Lattice that follows a weaker distributive law:
If A ≤ C, then A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ C

 Example: The subgroup lattice of a group forms a modular lattice.

 Key Differences Between Lattice Types

 Real-Life Applications of Lattices

Boolean Algebra – Used in computer logic circuits & programming
Database Design – Organizing hierarchical data
Cryptography – Lattice-based encryption methods
Artificial Intelligence – Decision-making systems

 Summary

• Lattice = A poset where every pair has Join (∨) & Meet (∧).
• Types: Bounded, Distributive, Complemented, Modular.
• Used in: Logic, AI, Cryptography, and Databases.

Would you like examples or solved problems on lattices?

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dmoi-tablet.pdf – Discrete Mathematics

Types of Lattice

डिस्क्रीट मैथमेटिक्स में लैटिस (Lattice) एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो आंशिक क्रमित समुच्चयों (Partially Ordered Sets – POSET) से संबंधित है। आइए इसे सरल भाषा में समझते हैं:

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लैटिस क्या है?

लैटिस एक ऐसा आंशिक क्रमित समुच्चय (POSET) है जिसमें प्रत्येक युग्म (pair) के लिए:

• Least Upper Bound (LUB) या Join (∨) मौजूद होता है।

• Greatest Lower Bound (GLB) या Meet (∧) मौजूद होता है।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास संख्याओं का समुच्चय {1, 2, 3, 6} है और हम “a divides b” (a, b को विभाजित करता है) संबंध पर विचार करते हैं, तो यह एक लैटिस बनाता है क्योंकि हर युग्म के लिए LUB और GLB मौजूद होते हैं।

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लैटिस के प्रकार

1. Bounded Lattice (सीमाबद्ध लैटिस):

   • ऐसा लैटिस जिसमें एक सर्वोच्च तत्व (1) और एक न्यूनतम तत्व (0) होता है।

   • उदाहरण: समुच्चय {1, 2, 3, 6, 9, 18}।

2. Complemented Lattice (पूरक लैटिस):

   • एक सीमाबद्ध लैटिस जिसमें प्रत्येक तत्व का एक पूरक (complement) होता है।

   • यदि a ∨ a’ = 1 और a ∧ a’ = 0, तो a’ को a का पूरक कहते हैं।

3. Distributive Lattice (वितरक लैटिस):

   • ऐसा लैटिस जिसमें निम्नलिखित गुणधर्म संतुष्ट होते हैं:

     • a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

     • a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

   • उदाहरण: किसी समुच्चय का पॉवर सेट (Power Set) जिसमें ∪ और ∩ क्रियाएं होती हैं।

4. Complete Lattice (पूर्ण लैटिस):

   • ऐसा लैटिस जिसमें प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए LUB और GLB मौजूद होते हैं।

   • उदाहरण: किसी समुच्चय का पॉवर सेट जिसमें सभी उपसमुच्चयों के लिए ∪ और ∩ परिभाषित हैं।

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Hasse Diagram क्या है?

Hasse Diagram एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है जो POSET या लैटिस के तत्वों और उनके संबंधों को दर्शाता है। इसमें तत्वों को बिंदुओं के रूप में और उनके आदेश संबंधों को रेखाओं के माध्यम से दर्शाया जाता है। यह लैटिस की संरचना को समझने में मदद करता है।

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वीडियो संसाधन

लैटिस के बारे में और अधिक समझने के लिए, आप निम्नलिखित वीडियो देख सकते हैं:

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यदि आप लैटिस के किसी विशेष पहलू पर और जानकारी या उदाहरण चाहते हैं, तो कृपया बताएं!

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