Day 03Part 03-Discrete mathematics for gate-How to Convert Partial order Relations to hasse diagram.

Day 03Part 03-Discrete mathematics for gate-How to Convert Partial order Relations to hasse diagram.

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हासे आरेख (Hasse Diagram) बनाने के लिए आंशिक क्रम संबंधों (Partial Order Relations) को कैसे परिवर्तित किया जाए, इसका चरण-दर-चरण तरीका इस प्रकार है:

चरण 1: आंशिक क्रम संबंध (Partial Order Relation) को समझें

आंशिक क्रम संबंध एक सेट पर परिभाषित होता है और तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

1. परिवर्तनीयता (Reflexivity): प्रत्येक $a$ के लिए, $(a,a)$ संबंध में होना चाहिए।
2. पारगम्यता (Transitivity): यदि $(a,b)$ और $(b,c)$ संबंध में हैं, तो $(a,c)$ भी संबंध में होगा।
3. प्रतिसमता (Antisymmetry): यदि $(a,b)$ और $(b,a)$ दोनों संबंध में हैं, तो $a=b$ होना चाहिए।

चरण 2: आंशिक क्रम संबंध को निर्देशित ग्राफ़ (Directed Graph) के रूप में लिखें

संबंध के आधार पर सभी तत्वों को नोड (node) के रूप में दर्शाएँ और $(a,b)$ संबंध होने पर एक निर्देशित किनारा (directed edge) जोड़ें।

चरण 3: अनावश्यक किनारे हटाएँ (Remove Redundant Edges)

• यदि $(a,b)$ और $(b,c)$ हैं और $(a,c)$ भी दिया गया है, तो पारगम्यता के कारण $(a,c)$ के किनारे को हटा दें।
• परावर्तन (Reflexive) होने के कारण सभी $(a,a)$ लूप्स को हटा दें।

चरण 4: हासे आरेख बनाएं

• प्रत्येक तत्व को स्तरीय क्रम (Layered Order) में व्यवस्थित करें।
• केवल महत्वपूर्ण आरेख बनाए रखें, यानी, सबसे कम आवश्यक किनारों को बनाए रखें।
• आरेख को बिना दिशा (undirected edges) के बनाएं और इसे ऊपर से नीचे क्रम में व्यवस्थित करें।

उदाहरण:

माना कि एक सेट $S=\{1,2,3,4\}$ पर आंशिक क्रम संबंध $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)\}$ दिया गया है।

1. निर्देशित ग्राफ़ बनाएँ:

   CopyEdit

   1 → 2
1 → 3
2 → 4
3 → 4


2. अनावश्यक किनारों को हटाएँ (अगर कोई पारगामी संबंध हो तो)।

3. हासे आरेख बनाएँ:

   CopyEdit

   4
/ \
2 3
\ /
1


यह हासे आरेख ऊपर से नीचे संबंधों को दिखाता है, जिसमें केवल न्यूनतम आवश्यक किनारे रखे गए हैं।

अगर आपको किसी विशेष उदाहरण पर चर्चा करनी है या किसी जटिल आंशिक क्रम को हासे आरेख में बदलना है, तो बताइए!

Here’s a clear and concise explanation for Day 03 Part 03 – Discrete Mathematics for GATE CSE/IT: How to Convert Partial Order Relations to a Hasse Diagram:

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Topic: Partial Order Relations and Hasse Diagrams

Subject: Discrete Mathematics
Target: GATE CSE/IT, UGC NET, and B.Tech CS Students

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1. What is a Partial Order Relation?

A partial order relation (denoted ≤) on a set S is a binary relation R that is:

• Reflexive: ∀a ∈ S, (a, a) ∈ R

• Antisymmetric: If (a, b) ∈ R and (b, a) ∈ R ⇒ a = b

• Transitive: If (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R

Example:
Let A = {1, 2, 3, 4, 6}, and define R = {(a, b) | a divides b}
This relation is a partial order on A.

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2. Steps to Draw a Hasse Diagram from Partial Order Relation

The Hasse Diagram is a graphical representation of a partial order that simplifies the relation by removing:

• Reflexive pairs (i.e., (a, a))

• Transitive edges

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Step-by-Step:

Step 1: List the elements and define the relation.

Use the relation to form ordered pairs.

Step 2: Draw the directed graph (digraph).

Connect elements with arrows based on the relation.

Step 3: Remove reflexive pairs.

Remove all loops like (a, a).

Step 4: Remove transitive edges.

If a → b and b → c exist, then a → c is transitive and can be removed.

Step 5: Replace arrows with lines.

Make lines go upward (from lower to higher elements). This becomes the Hasse Diagram.

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Example:

Set A = {1, 2, 4, 8}, Relation R: “a divides b”

| Ordered Pairs: | (1,1), (1,2), (1,4), (1,8), (2,2), (2,4), (2,8), (4,4), (4,8), (8,8) |

• Remove reflexive: (1,1), (2,2), (4,4), (8,8)

• Remove transitive: (1,4) and (1,8), since (1,2) and (2,4) exist.

• Final pairs for diagram: (1,2), (2,4), (4,8)

Final Hasse Diagram (drawn vertically):

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Tips for GATE Exam:

• Understand lattice and poset (partially ordered set) connections

• Be quick in identifying transitive closures

• Draw Hasse Diagrams carefully in less time — good for MSQ or NAT questions

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Would you like:

• PDF of solved Hasse diagram problems?

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Let me know and I’ll help you further!

Day 03Part 03-Discrete mathematics for gate-How to Convert Partial order Relations to hasse diagram.

(4.3) Partial Orderings

Discrete Mathematics – Order Relation