Day 03 Part 02- Discrete mathematics for cse-Total order relation and it’s graph representation.
Day 03 Part 02: Discrete Mathematics for CSE – Total Order Relation and Its Graph Representation
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Total Order Relation एक विशेष प्रकार का Partial Order Relation है, जिसमें किसी भी दो तत्वों के बीच तुलना संभव होती है।
एक Total Order Relation निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
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Reflexive (परावर्तनीयता): हर तत्व स्वयं से संबंधित होता है; अर्थात्, a≤aa \leq a
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Antisymmetric (प्रतिसममितीयता): यदि a≤ba \leq b और b≤ab \leq a, तो a=ba = b
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Transitive (ससरणीयता): यदि a≤ba \leq b और b≤cb \leq c, तो a≤ca \leq c
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Comparability (तुलनीयता): हर जोड़ी (a,b)(a, b) के लिए, या तो a≤ba \leq b या b≤ab \leq a सत्य होता है
इस प्रकार, Total Order Relation में सभी तत्व आपस में तुलनीय होते हैं।
Hasse Diagram एक ग्राफिकल टूल है जो किसी आंशिक क्रमित सेट (Poset) को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।
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वर्टिकल प्लेसमेंट: यदि a≤ba \leq b, तो aa को bb के नीचे रखा जाता है।
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एजेस (Edges): यदि aa और bb के बीच कोई अन्य तत्व नहीं है, तो aa से bb तक एक सीधा रेखा खींची जाती है।
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Reflexive और Transitive एजेस को नहीं दिखाया जाता।
Total Order Relation के Hasse Diagram में सभी तत्व एक सीधी रेखा में होते हैं, जहाँ प्रत्येक तत्व का एक ही उत्तराधिकारी और एक ही पूर्ववर्ती होता है (यदि कोई हो)।
उदाहरण:
सेट {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} के लिए ≤\leq संबंध का Hasse Diagram:
यह दर्शाता है कि प्रत्येक तत्व अपने अगले से संबंधित है, और सभी तत्व तुलनीय हैं।
सेट: {1,2,4,8,16}\{1, 2, 4, 8, 16\}
संबंध: “divides” (विभाजित करता है), अर्थात् a∣ba \mid b यदि aa bb को विभाजित करता है।
विश्लेषण:
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1 divides 2, 2 divides 4, 4 divides 8, 8 divides 16
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हर जोड़ी तुलनीय है।
निष्कर्ष: यह एक Total Order Relation है, और इसका Hasse Diagram एक सीधी रेखा होगी।
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हर Total Order Relation एक Partial Order Relation होता है, लेकिन हर Partial Order Relation आवश्यक नहीं कि Total Order हो।
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Hasse Diagram के माध्यम से हम किसी भी Poset की संरचना को आसानी से समझ सकते हैं।
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Day 03 Part 02- Discrete mathematics for cse-Total order relation and it’s graph representation.
Mathematics (Discrete Structure).pdf
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