Day 02-Discrete mathematics for computer science in Hindi – Type of Relation with basic concept
Day 02-Discrete mathematics for computer science in Hindi – Type of Relation with basic concept
बिलकुल! यह है Day 02 का पूरा नोट्स और समझाया हुआ भाग —
Discrete Mathematics for Computer Science (CSE/IT) in Hindi
Contents
- 1 📘 रिलेशन (Relation) क्या होता है?
- 2 🔢 Types of Relations (संबंधों के प्रकार)
- 3 🔍 1. Reflexive Relation (प्रत्यावर्ती संबंध)
- 4 🔍 2. Symmetric Relation (साम्य संबंध)
- 5 🔍 3. Anti-Symmetric Relation (प्रति-साम्य संबंध)
- 6 🔍 4. Transitive Relation (सांक्रामक संबंध)
- 7 🔍 5. Equivalence Relation (समानता संबंध)
- 8 🔍 6. Irreflexive Relation (अप्रत्यावर्ती संबंध)
- 9 🧠 Visualization (Venn Diagram Style Explanation)
- 10 🧪 GATE और CS में उपयोग:
- 11 📝 Practice Example:
- 12 📚 Extra Tip:
- 13 📦 Conclusion:
🔹 टॉपिक: Types of Relations (संबंध के प्रकार) और उसका बेसिक कॉन्सेप्ट
📘 रिलेशन (Relation) क्या होता है?
अगर हमारे पास दो sets हों, A और B, तो उनका Cartesian Product:
A×B={(a,b) ∣ a∈A,b∈B}A \times B = \{ (a, b) \ | \ a \in A, b \in B \}
अब, इस Cartesian Product का कोई subset कहलाता है एक Relation (R)
👉 Relation: A से B तक किसी नियम या कंडीशन पर आधारित ordered pairs का collection
🔢 Types of Relations (संबंधों के प्रकार)
| क्र.सं. | प्रकार (Type) | परिभाषा (Definition in Hindi) |
|---|---|---|
| 1️⃣ | Reflexive Relation | हर element खुद से related हो: (a,a)∈R(a, a) \in R |
| 2️⃣ | Symmetric Relation | अगर (a,b)∈R(a, b) \in R है तो (b,a)∈R(b, a) \in R भी होना चाहिए |
| 3️⃣ | Anti-Symmetric Relation | अगर (a,b)∈R(a, b) \in R और (b,a)∈R(b, a) \in R, तो a=ba = b होना चाहिए |
| 4️⃣ | Transitive Relation | अगर (a,b)∈R(a, b) \in R और (b,c)∈R(b, c) \in R, तो (a,c)∈R(a, c) \in R भी हो |
| 5️⃣ | Equivalence Relation | जो Reflexive + Symmetric + Transitive हो |
| 6️⃣ | Irreflexive Relation | कोई भी element खुद से related न हो: (a,a)∉R(a, a) \notin R |
🔍 1. Reflexive Relation (प्रत्यावर्ती संबंध)
🟢 Definition: (a,a)∈R(a, a) \in R ∀ a ∈ A
✅ Example: A = {1,2}, R = {(1,1), (2,2)} — Reflexive
🔍 2. Symmetric Relation (साम्य संबंध)
🟢 Definition: (a,b)∈R⇒(b,a)∈R(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R
✅ Example: {(1,2), (2,1)}
❌ Not symmetric: {(1,2)} only
🔍 3. Anti-Symmetric Relation (प्रति-साम्य संबंध)
🟢 Definition: (a,b),(b,a)∈R⇒a=b(a,b), (b,a) \in R \Rightarrow a = b
✅ Example: {(1,1), (2,2), (1,2)}
❌ {(1,2), (2,1)} → Not anti-symmetric
🔍 4. Transitive Relation (सांक्रामक संबंध)
🟢 Definition: (a,b),(b,c)∈R⇒(a,c)∈R(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R
✅ Example: {(1,2), (2,3), (1,3)}
🔍 5. Equivalence Relation (समानता संबंध)
👉 वह relation जो तीनों properties satisfy करता है:
✅ Reflexive
✅ Symmetric
✅ Transitive
➡️ Example: “is equal to” (=) relation
🔍 6. Irreflexive Relation (अप्रत्यावर्ती संबंध)
🛑 (a,a)∉R(a,a) \notin R ∀ a ∈ A
➡️ Example: A = {1,2}, R = {(1,2), (2,1)} — Irreflexive
🧠 Visualization (Venn Diagram Style Explanation)
You can visualize relation as arrows from elements to elements.
Symmetric → double-sided arrow
Transitive → chains
Reflexive → self-loops
🧪 GATE और CS में उपयोग:
| Concept | Use Area |
|---|---|
| Reflexive | Set Theory, Database Relations |
| Symmetric | Undirected Graphs |
| Transitive | Reachability in Graphs |
| Anti-Symmetric | Partial Order Relations |
| Equivalence | Classification, State Machines |
📝 Practice Example:
Let A = {1, 2, 3}
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)}
Q: यह relation कौन-कौन सी property satisfy करता है?
🔎 Reflexive? ✅
🔎 Symmetric? ✅
🔎 Transitive? ❌
👉 So, Not an Equivalence Relation
📚 Extra Tip:
Equivalence Relation से बनता है:
Partition of Set — i.e., it divides the set into disjoint equivalence classes.
📦 Conclusion:
| Relation Type | Symbolic Rule |
|---|---|
| Reflexive | (a,a) ∈ R |
| Symmetric | (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R |
| Anti-Symmetric | (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ a = b |
| Transitive | (a,b), (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R |
| Equivalence | Reflexive + Symmetric + Transitive |
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