Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set

Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set

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Day 01: डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) – यूनिवर्सल सेट और कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट

यह टॉपिक GATE (CSE/IT) के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि सेट थ्योरी (Set Theory) से अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं।

 यूनिवर्सल सेट (Universal Set) क्या होता है?

यूनिवर्सल सेट वह सेट होता है जिसमें सभी संबंधित तत्व (elements) मौजूद होते हैं। इसे आमतौर पर U से दर्शाया जाता है।

 उदाहरण

यदि हमारे पास तीन सेट दिए गए हैं:

• A = {1, 2, 3}
• B = {3, 4, 5}
• C = {5, 6, 7}

और अगर ये सभी U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} में मौजूद हैं, तो U हमारा यूनिवर्सल सेट कहलाएगा।

महत्वपूर्ण बातें:

• यूनिवर्सल सेट की परिभाषा प्रश्न के अनुसार बदल सकती है।
• सभी सेट उसी यूनिवर्सल सेट का हिस्सा होते हैं।
• U का कम्प्लीमेंट (U’) नहीं होता, क्योंकि U के बाहर कुछ भी नहीं होता।

 कम्प्लीमेंट ऑफ़ सेट (Complement of a Set) क्या होता है?

अगर कोई सेट A यूनिवर्सल सेट U का एक हिस्सा है, तो उसका Complement (A’) उन तत्वों का सेट होगा जो U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं।

 गणितीय परिभाषा

A′=U−AA’ = U – AA′=U−A

जहाँ,

• A’ (Complement of A) = वे तत्व जो U में हैं लेकिन A में नहीं हैं।

 उदाहरण

मान लीजिए U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} और
A = {1, 2, 3, 4} है।
तो,

A′=U−A={5,6,7,8,9}A’ = U – A = \{5, 6, 7, 8, 9\}A′=U−A={5,6,7,8,9}

महत्वपूर्ण बातें:

• A’ + A = U (सेट A और उसके कम्प्लीमेंट को मिलाने पर यूनिवर्सल सेट बन जाता है)।
• A ∩ A’ = ∅ (सेट A और उसके कम्प्लीमेंट का इंटरसेक्शन हमेशा खाली सेट होता है)।

वेन डायग्राम द्वारा समझें

यूनिवर्सल सेट (U) को एक बड़ा बॉक्स मान सकते हैं।
सेट A इस बॉक्स के अंदर एक छोटा गोला होगा।
A’ (A का कम्प्लीमेंट) बॉक्स का वह हिस्सा होगा जो गोले के बाहर है।

 उदाहरण का वेन डायग्राम:

कुछ महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

1⃣ डि मॉर्गन के नियम (De Morgan’s Laws):

(A∪B)′=A′∩B′(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’(A∪B)′=A′∩B′ (A∩B)′=A′∪B′(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’(A∩B)′=A′∪B′

2⃣ किसी भी सेट और उसके कम्प्लीमेंट का मिलाकर यूनिवर्सल सेट बनता है:

A∪A′=UA ∪ A’ = UA∪A′=U

3⃣ किसी भी सेट और उसके कम्प्लीमेंट का इंटरसेक्शन हमेशा खाली सेट होता है:

A∩A′=∅A ∩ A’ = ∅A∩A′=∅

 GATE (CSE/IT) में संभावित प्रश्न

Q1: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} और A = {2, 4, 6, 8, 10} हो, तो A’ क्या होगा?
उत्तर: A’ = {1, 3, 5, 7, 9}

Q2: यदि A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, और U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, तो (A ∩ B)’ क्या होगा?
हल:
पहले हम A ∩ B निकालते हैं:

$$A\cap B=\{3\}$$

अब, (A ∩ B)’ = U – {3} = {1, 2, 4, 5, 6}

 निष्कर्ष (Conclusion)

• यूनिवर्सल सेट (U) सभी तत्वों को समाहित करता है।
• किसी सेट A का कम्प्लीमेंट (A’) वे सभी तत्व होते हैं जो U में हैं लेकिन A में नहीं हैं।
• वेन डायग्राम का उपयोग करके आसानी से समझा जा सकता है।
• GATE में अक्सर डि मॉर्गन के नियम और कम्प्लीमेंट से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।

अगला टॉपिक: Power Set और Subset

क्या आपको कोई और उदाहरण या प्रश्न चाहिए?

Day 01- Discrete Mathematics for gate in Hindi CSEIT- Concept of Universal set and Complement of set

Discrete Mathematics for Computer Science

Mathematics (Discrete Structure).pdf

UNIT – I – Set Theory – SMT5201

यहाँ Day 01 – Discrete Mathematics for GATE CSE/IT (in Hindi) का संक्षिप्त और स्पष्ट नोट है जिसमें Universal Set और Complement of Set की हिंदी में व्याख्या की गई है।

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Day 01 – Discrete Mathematics (गेट CSE/IT के लिए)

टॉपिक: Universal Set (सार्वभौमिक समुच्चय) और Complement of Set (समुच्चय का पूरक)

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1. Universal Set (सार्वभौमिक समुच्चय)

परिभाषा:
वह समुच्चय जिसमें उस विशेष संदर्भ में बात किए गए सभी तत्व (elements) शामिल हों, Universal Set कहलाता है।

इसे अक्सर U से दर्शाया जाता है।
यह सभी अन्य समुच्चयों का सुपरसेट (Superset) होता है।

उदाहरण:

मान लीजिए, हम केवल 1 से 10 तक की संख्याओं की बात कर रहे हैं।
तो:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

अगर A = {2, 4, 6}, तो A का Universal Set होगा U।

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2. Complement of a Set (समुच्चय का पूरक)

परिभाषा:
यदि A कोई समुच्चय है और U उसका Universal Set है, तो A का पूरक (Complement) वह समुच्चय होगा जिसमें U के वे सभी तत्व होंगे जो A में नहीं हैं।

इसे A’ या A̅ (A bar) से दर्शाते हैं।
गणितीय रूप में:
A’ = U – A

उदाहरण:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
तो A’ = {1, 3, 5}

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नियम (Properties):

नियम	व्याख्या
(A’)’ = A	डबल पूरक फिर से मूल समुच्चय बनता है
U’ = ∅	Universal Set का पूरक खाली समुच्चय होता है
∅’ = U	खाली समुच्चय का पूरक Universal Set होता है
A ∪ A’ = U	समुच्चय और उसका पूरक मिलकर Universal Set बनाते हैं
A ∩ A’ = ∅	समुच्चय और उसका पूरक आपस में कोई तत्व साझा नहीं करते

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GATE Exam में कैसे पूछा जा सकता है?

प्रश्न:
U = {a, b, c, d, e}, A = {a, c, e}
A̅ क्या होगा?

उत्तर:
A̅ = U – A = {b, d}

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सुझाव:

• Venn Diagram से आप इन कॉन्सेप्ट्स को आसानी से समझ सकते हैं।
• आप चाहें तो मैं इसका हिंदी वीडियो लिंक, नोट्स PDF या प्रैक्टिस क्विज़ भी दे सकता हूँ।

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अगर आप Day 02, 03, आदि के नोट्स या अन्य टॉपिक जैसे Power Set, Subset, या Cartesian Product भी चाहते हैं, तो बताइए — मैं क्रम से बना दूँ।

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