Binary Operator concept- GATE 2025 Discrete mathematics tutorial in Hindi The binary operator

Binary Operator concept- GATE 2021 Discrete mathematics tutorial in Hindi The binary operator

 Binary Operator Concept – GATE 2025 Discrete Mathematics Tutorial in Hindi

 क्या है Binary Operator?

Binary Operator एक ऐसा ऑपरेटर होता है जो दो ऑपरेटिंग वैल्यू (Operands) पर काम करता है और एक सिंगल रिजल्ट देता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

$$A\ast B$$

जहाँ $\ast$ एक बाइनरी ऑपरेटर है और $A$ तथा $B$ इसके दो ऑपरेण्ड्स हैं।

 Types of Binary Operators in Discrete Mathematics

Discrete Mathematics में बाइनरी ऑपरेटर्स मुख्यतः Set Theory, Logic, and Algebra में उपयोग किए जाते हैं।

 Arithmetic Binary Operators (गणितीय बाइनरी ऑपरेटर)

Addition (+) → $a+b$
Subtraction (-) → $a-b$
Multiplication (×) → $a\times b$
Division (÷) → $a÷b$
Modulus (%) → $a\mathrm{mod}b$

Example: यदि $a=5$ और $b=3$, तो

$$5+3=8$$

 Logical Binary Operators (तार्किक बाइनरी ऑपरेटर)

Boolean Algebra और Logic Gates में उपयोग होते हैं।

AND ( ∧ ) → $A\wedge B$
OR ( ∨ ) → $A\vee B$
XOR ( ⊕ ) → $A\oplus B$

Example: यदि

• $A=1$, $B=0$
• $A\wedge B=1\wedge 0=0$ (AND Operation)
• $A\vee B=1\vee 0=1$ (OR Operation)

 Relational Binary Operators (संबंधित बाइनरी ऑपरेटर)

यह ऑपरेटर्स संबंधों (Relations) और सत्यता (Truth Values) की तुलना के लिए उपयोग होते हैं।

Equal to ( = ) → $A=B$
Not Equal to ( ≠ ) → A≠BA \neq BA=B
Greater than ( > ) → $A>B$
Less than ( < ) → $A<B$

Example:
यदि $A=4,B=6$, तो

• $A<B$ (True)
• $A=B$ (False)

 Set Theory Binary Operators (सेट थ्योरी में बाइनरी ऑपरेटर्स)

Set Theory में बाइनरी ऑपरेटर्स का उपयोग Sets के बीच ऑपरेशन करने के लिए किया जाता है।

Union ( ∪ ) → $A\cup B$
Intersection ( ∩ ) → $A\cap B$
Difference ( – ) → $A-B$
Cartesian Product ( × ) → $A\times B$

Example:
यदि $A=\{1,2,3\}$ और $B=\{2,3,4\}$, तो

• $A\cup B=\{1,2,3,4\}$
• $A\cap B=\{2,3\}$

 Important Properties of Binary Operators

Closure Property: यदि $a,b$ किसी Set $S$ के एलिमेंट हैं और $a\ast b$ फिर से $S$ में आता है, तो ऑपरेशन Closure को फॉलो करता है।
Associativity: $(A\ast B)\ast C=A\ast (B\ast C)$
Commutativity: $A\ast B=B\ast A$
Identity Element: ऐसा एलिमेंट $e$ जिससे $A\ast e=A$ हो। (जैसे Addition में 0, Multiplication में 1)
Inverse Element: ऐसा एलिमेंट A−1A^{-1}A−1 जिससे A∗A−1=IdentityA * A^{-1} = IdentityA∗A−1=Identity हो।

 Conclusion (निष्कर्ष)

• Binary Operator दो वैल्यू पर कार्य करता है।
• यह गणितीय, तार्किक, रिलेशनल और सेट ऑपरेशन में प्रयोग किया जाता है।
• इसकी Closure, Associative, और Commutative Properties होती हैं।
• यह GATE, Discrete Mathematics और Computer Science में महत्वपूर्ण है।

 क्या आपको और प्रश्न चाहिए GATE 2025 के लिए?

Binary Operator concept- GATE 2025 Discrete mathematics tutorial in Hindi The binary operator

Discrete Mathematics and Its Applications, Eighth Edition

Engineering Mathematics Notes

UNIVERSITY OF LUCKNOW

बाइनरी ऑपरेशन (Binary Operation) डिस्क्रीट मैथमेटिक्स का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो GATE 2025 जैसी परीक्षाओं में अक्सर पूछा जाता है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

बाइनरी ऑपरेशन क्या है?

जब किसी सेट के दो एलिमेंट्स को एक ऑपरेशन के माध्यम से मिलाकर उसी सेट का एक नया एलिमेंट प्राप्त होता है, तो उस ऑपरेशन को बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषा:

यदि $S$ कोई सेट है, तो एक बाइनरी ऑपरेशन $\ast$ ऐसा फंक्शन है:

$$\ast :S\times S\to S$$

इसका अर्थ है कि $S$ के किसी भी दो एलिमेंट्स $a$ और $b$ के लिए, $a\ast b$ भी $S$ में ही होगा।

उदाहरण

1. पूर्णांकों पर जोड़ (Addition on Integers):

   सेट $\mathbb{Z}$ (सभी पूर्णांक) पर जोड़ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि किसी भी दो पूर्णांकों का योग भी एक पूर्णांक होता है।

2. प्राकृतिक संख्याओं पर घटाव (Subtraction on Natural Numbers):

   सेट $\mathbb{N}$ (सभी प्राकृतिक संख्याएं) पर घटाव बाइनरी ऑपरेशन नहीं है क्योंकि $3-5=-2$, जो कि $\mathbb{N}$ में नहीं है।

बाइनरी ऑपरेशन के गुण

1. क्लोजर (Closure): यदि $a,b\in S$, तो $a\ast b\in S$ होना चाहिए।

2. सहसंबंधता (Associativity): यदि $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ सभी $a,b,c\in S$ के लिए सत्य हो, तो ऑपरेशन एसोसिएटिव है।

3. सममितता (Commutativity): यदि $a\ast b=b\ast a$ सभी $a,b\in S$ के लिए सत्य हो, तो ऑपरेशन कम्यूटेटिव है।

4. तटस्थ तत्व (Identity Element): यदि कोई $e\in S$ ऐसा हो कि $a\ast e=e\ast a=a$ सभी $a\in S$ के लिए, तो $e$ तटस्थ तत्व है।

5. उल्टा तत्व (Inverse Element): यदि प्रत्येक $a\in S$ के लिए कोई $b\in S$ ऐसा हो कि $a\ast b=b\ast a=e$, जहाँ $e$ तटस्थ तत्व है, तो $b$ को $a$ का उल्टा तत्व कहा जाता है।

GATE 2025 के लिए तैयारी

GATE परीक्षा में बाइनरी ऑपरेशन से संबंधित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं, जैसे:

• किसी दिए गए ऑपरेशन के लिए क्लोजर, एसोसिएटिविटी, कम्यूटेटिविटी की जांच करना।

• तटस्थ तत्व और उल्टा तत्व की पहचान करना।

• किसी सेट और ऑपरेशन के लिए ग्रुप, सेमी-ग्रुप, मोनॉइड आदि की पहचान करना।

अतिरिक्त संसाधन

बाइनरी ऑपरेशन और संबंधित विषयों को और गहराई से समझने के लिए, निम्नलिखित हिंदी ट्यूटोरियल्स सहायक हो सकते हैं:

• Binary Operation Group Theory | Discrete Mathematics | Hindi: YouTube

• Algebraic Structure, Binary Operations and Closure Property: YouTube

• Binary Operation, n-ary Operation & Algebraic Structure by Dr.D.N.: YouTube

यदि आप किसी विशेष प्रश्न या उदाहरण पर चर्चा करना चाहते हैं, तो कृपया बताएं!