Previous year gate question of Discrete in Hindi – GATE 1993 Let A be a finite set of size n.

Previous year gate question of Discrete in Hindi – GATE 199 Let A be a finite set of size n.

 GATE 1993 | Discrete Mathematics Previous Year Question in Hindi

प्रश्न:
मान लीजिए कि $A$ एक परिमित समुच्चय (Finite Set) है जिसकी आकार (Size) $n$ है।
इस समुच्चय के Power Set (पॉवर सेट) में कुल कितने उपसमुच्चय (Subsets) होंगे?

 हल (Solution):

किसी समुच्चय (Set) $A$ जिसका आकार $n$ हो, उसके पॉवर सेट (Power Set) में कुल उपसमुच्चय (Subsets) की संख्या होती है:

Total Subsets=2n\text{Total Subsets} = 2^nTotal Subsets=2n

जहाँ $n$, समुच्चय $A$ में मौज़ूद तत्वों (Elements) की संख्या है।

 उदाहरण (Example):

मान लीजिए $A=\{1,2,3\}$ है, यानी $n=3$
तो इसके पॉवर सेट में कुल उपसमुच्चय होंगे

23=82^3 = 823=8

पॉवर सेट:

$$\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$$

अगर $A$ में 5 तत्व हैं ($n=5$)
तो इसके पॉवर सेट में कुल उपसमुच्चय होंगे

25=322^5 = 3225=32

 निष्कर्ष (Final Answer):

यदि $A$ के अंदर $n$ तत्व हैं, तो उसके पॉवर सेट में कुल 2n2^n2n उपसमुच्चय होंगे।

GATE 1993 का सही उत्तर:

\mathbf{2^n} \] अगर आपको कोई और **GATE का प्रश्न समझना हो, तो बताइए!

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Discrete Mathematics for Computer Science

Discrete Mathematical Structures

GATE CS – 1993

यहाँ पर GATE 1993 का एक बहुत प्रसिद्ध और बार-बार पूछा गया प्रश्न है Discrete Mathematics से — जिसे हमने हिंदी में सरल रूप में समझाया है।

GATE 1993 – Discrete Mathematics (Set Theory)

Question (In English):
Let A be a finite set of size n. The total number of relations on A which are reflexive and symmetric is:

प्रश्न का हिंदी अनुवाद:

मान लीजिए कि A एक सीमित (finite) सेट है, जिसमें n तत्त्व हैं।
तो ऐसे कुल कितने relations बनाए जा सकते हैं जो कि:

• Reflexive (स्वावलंबी) और
• Symmetric (सममित) भी हों?

Concept Explanation in Hindi:

1. Reflexive Relation क्या होता है?

हर तत्त्व का खुद से संबंध होना चाहिए।
यानि: (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A
⇒ n elements होंगे तो n reflexive pairs होने जरूरी हैं:
(a₁,a₁), (a₂,a₂), ..., (aₙ,aₙ)

इन्हें relation में रखना ही होगा, कोई option नहीं।

2. Symmetric Relation क्या होता है?

अगर (a, b) ∈ R है, तो (b, a) भी R में होना चाहिए।
यानि unordered pairs (a ≠ b) को जोड़ने पर symmetric बनाए रखना पड़ेगा।

अब गिनती करते हैं:

Step 1: Total pairs possible on set A:

Total ordered pairs from A × A = n²

लेकिन हम symmetric relation की बात कर रहे हैं। तो:

Step 2: Reflexive pairs:

n pairs like (a₁,a₁), …, (aₙ,aₙ) — ये necessary हैं
(हर relation में होने ही चाहिए)

Step 3: Off-diagonal pairs (a ≠ b):

Total such pairs = n(n – 1)

लेकिन symmetric में:

• (a, b) और (b, a) दोनों होने चाहिए
• यानि इनको unordered pair की तरह जोड़ना होगा

So, number of such unordered pairs = n(n − 1)/2

Final Step: Counting Relations

• Reflexive pairs are fixed — इनको लेना ही है
• बाकी n(n − 1)/2 unordered pairs हैं
  → हर एक को ले या न लें (with both (a, b) and (b, a) together)

So total number of reflexive + symmetric relations =
2n(n−1)/2

Final Answer: 2n(n−1)/2

उदाहरण के लिए:

यदि n = 3, तो
⇒ Answer = 23(3−1)/2 = 23 = 8 reflexive + symmetric relations

क्या आप चाहेंगे:

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