Part 09- Discrete mathematics in Hindi – Short trick for transitive relation to solve quick.

Part 09- Discrete mathematics in Hindi – Short trick for transitive relation to solve quick.

ट्रांज़िटिव रिलेशन (सांक्रमिक संबंध) गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, विशेष रूप से डिस्क्रीट मैथमेटिक्स में। यदि किसी सेट $A$ पर एक संबंध $R$ के लिए, यदि $aRb$ और $bRc$ से $aRc$ होता है, तो $R$ को ट्रांज़िटिव कहा जाता है।

ट्रांज़िटिविटी की जाँच के लिए शॉर्टकट विधि:

1. संबंध की सूची बनाएं: सबसे पहले, दिए गए संबंध $R$ के सभी युग्मों (pairs) को सूचीबद्ध करें।

2. मध्यवर्ती तत्व खोजें: प्रत्येक युग्म $(a,b)$ के लिए, ऐसा $b$ खोजें जो किसी अन्य युग्म $(b,c)$ में उपस्थित हो।

3. नया युग्म बनाएं: यदि $(a,b)$ और $(b,c)$ मौजूद हैं, तो $(a,c)$ भी संबंध $R$ में होना चाहिए।

4. सत्यापन करें: यदि प्रत्येक संभव $(a,c)$ युग्म $R$ में मौजूद है, तो संबंध ट्रांज़िटिव है; अन्यथा नहीं।

उदाहरण:

मान लें कि सेट $A=\{1,2,3\}$ और संबंध $R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$ है।

• यहाँ, $(1,2)$ और $(2,3)$ मौजूद हैं, और $(1,3)$ भी मौजूद है।
• इसलिए, यह संबंध ट्रांज़िटिव है।

त्वरित जाँच के लिए सुझाव:

• मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व: संबंध को मैट्रिक्स के रूप में प्रदर्शित करें और मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके ट्रांज़िटिविटी की जाँच करें।
• ग्राफ़ प्रतिनिधित्व: संबंध को ग्राफ़ के रूप में दर्शाएं; यदि हर मार्ग के लिए सीधे किनारा मौजूद है, तो संबंध ट्रांज़िटिव है।

इन शॉर्टकट्स का अभ्यास करके, आप ट्रांज़िटिव संबंधों की पहचान तेजी से कर सकते हैं।

Part 09- Discrete mathematics in Hindi – Short trick for transitive relation to solve quick.

dmoi-tablet.pdf – Discrete Mathematics

Notes on Discrete Mathematics

Essentials of Discrete Mathematics

यहाँ पर Discrete Mathematics (Part 09) में Transitive Relation की पहचान करने के लिए एक आसान और तेज़ तरीका (short trick) हिंदी में दिया गया है:

Part 09 – ट्रांजिटिव रिलेशन (Transitive Relation) – Short Trick in Hindi

परिभाषा (Definition):

किसी सेट $A$ पर परिभाषित रिलेशन $R$ Transitive होता है यदि:

यदि $(a,b)\in R$ और $(b,c)\in R$, तो $(a,c)\in R$ भी होना चाहिए।

Short Trick to Check Transitive Relation Quickly (तेज़ तरीका):

Step-by-Step Method:

1. सभी Ordered Pairs को ध्यान से देखें।
   रिलेशन में दिए गए सभी युग्मों (pairs) को लिखें:
   जैसे:

   $$R=\{(a,b),(b,c),(c,d),(a,c)\dots \}$$

2. हर pair $(x,y)$ के लिए वह pair ढूंढो जिसका पहला हिस्सा $y$ हो।
   उदाहरण:
   अगर $(a,b)$ है, तो अब ऐसा pair देखें जिसका रूप $(b,z)$ हो।

3. अब चेक करें कि $(a,z)$ रिलेशन में मौजूद है या नहीं।
   अगर हर बार ऐसा pair मिल जाता है तो relation ट्रांजिटिव है।

Shortcut Tip (याद रखने की ट्रिक):

“Middle Match → End Connect”
जहाँ दो ordered pairs में second और first item मैच करते हैं, वहाँ देखो कि पहला और तीसरा item का pair मौजूद है या नहीं।

Example 1:

Set $A=\{1,2,3\}$,
Relation $R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}$

$(1,2)$ और $(2,3)$ हैं → क्या $(1,3)$ है?
So, it’s transitive.

Example 2:

$R=\{(1,2),(2,3)\}$

$(1,2)$ और $(2,3)$ हैं → क्या $(1,3)$ है?
So, Not Transitive

Extra Tip:

अगर किसी relation में सिर्फ self-pairs हैं, जैसे:

$$R=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$$

तो वह हमेशा transitive होता है।

Transitive Relation का उपयोग कहाँ होता है?

• Equivalence relation में (Reflexive + Symmetric + Transitive)

• Graph theory में

• Database में functional dependencies

अभ्यास के लिए:

जांचिए कि निम्नलिखित relation transitive है या नहीं:

1. $R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(1,3)\}$

2. $R=\{(a,b),(b,c),(a,c),(c,d),(a,d)\}$

3. $R=\{(1,2),(2,3)\}$

उत्तर चाहिए तो बताइए, मैं जांच कर दूँ।

अगर आप चाहें तो मैं इसका एक PDF notes या practice worksheet भी तैयार कर सकता हूँ।

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