Discrete Mathematics Question for gate in Hindi CSEIT – GATE 2025 The binary relation

Discrete Mathematics Question for gate in Hindi CSEIT – GATE 2025 The binary relation

यहाँ GATE CSE 2025 के लिए डिस्क्रीट मैथेमेटिक्स में बाइनरी रिलेशन (Binary Relation) पर आधारित कुछ महत्वपूर्ण प्रश्न और उनके समाधान दिए गए हैं, जो हिंदी माध्यम के छात्रों के लिए उपयोगी होंगे।

बाइनरी रिलेशन की मूल बातें

यदि कोई सेट $A$ है, तो उस पर सभी संभव बाइनरी रिलेशन की संख्या होती है:

Total Relations=2n2\text{Total Relations} = 2^{n^2}Total Relations=2n2

जहाँ $n$ सेट $A$ के तत्वों की संख्या है।

उदाहरण: यदि $A=\{1,2,3\}$, तो कुल बाइनरी रिलेशन होंगे:

232=29=5122^{3^2} = 2^9 = 512232=29=512

GATE के पूर्ववर्ती प्रश्न

प्रश्न 1 (GATE CS 2025):

“सेट $A=\{1,2,3\}$ पर एक बाइनरी रिलेशन $R$ यादृच्छिक रूप से चुना गया है। उस रिलेशन के रिफ्लेक्सिव होने की प्रायिकता क्या है?”

उत्तर:

• कुल बाइनरी रिलेशन: 29=5122^9 = 51229=512

• रिफ्लेक्सिव रिलेशन के लिए आवश्यक है कि सभी $(a,a)$ युग्म मौजूद हों, अर्थात् $(1,1),(2,2),(3,3)$ शामिल हों।

• बाकी $9-3=6$ युग्मों के लिए प्रत्येक को शामिल करने या न करने के दो विकल्प हैं।

• अतः रिफ्लेक्सिव रिलेशन की संख्या: 26=642^6 = 6426=64

• प्रायिकता: 64512=18\frac{64}{512} = \frac{1}{8}51264​=81​

प्रश्न 2 (GATE CS 2025):

“सेट $A=\{x,y,z\}$ पर रिलेशन $R=\{(x,y),(x,z),(z,x),(z,y)\}$ दिया गया है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?”

विश्लेषण:

• रिफ्लेक्सिव: नहीं, क्योंकि $(x,x),(y,y),(z,z)$ शामिल नहीं हैं।

• सिमेट्रिक: नहीं, क्योंकि $(x,y)$ है लेकिन $(y,x)$ नहीं है।

• ट्रांजिटिव: जाँचना आवश्यक है।

उत्तर: रिलेशन न तो रिफ्लेक्सिव है, न ही सिमेट्रिक, और ट्रांजिटिविटी की पुष्टि नहीं होती।

अभ्यास के लिए सुझाव

• GeeksforGeeks पर डिस्क्रीट मैथेमेटिक्स के ट्यूटोरियल्स और GATE के पिछले वर्षों के प्रश्नों का अभ्यास करें।

• YouTube पर हिंदी में उपलब्ध वीडियो लेक्चर्स, जैसे कि Binary Relation in Hindi, से अवधारणाओं को स्पष्ट करें।

यदि आप किसी विशेष प्रकार के रिलेशन (जैसे कि सिमेट्रिक, ट्रांजिटिव, रिफ्लेक्सिव) पर और अधिक उदाहरण या स्पष्टीकरण चाहते हैं, तो कृपया बताएं।