Gate Questions in Hindi- GATE 2025 Symmetric relation The number of different n- multiply -n symmetric matrix.

Gate Questions in Hindi- GATE 2025 Symmetric relation The number of different n- multiply -n symmetric matrix.

GATE 2025 के लिए हिंदी में प्रश्न: सममित संबंध

प्रश्न: किसी n × n सममित मैट्रिक्स की कुल संभावित संख्या कितनी होती है?

समाधान:

सममित मैट्रिक्स (Symmetric Matrix) वह मैट्रिक्स होती है जिसमें मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व अपने मुख्य विकर्ण (main diagonal) के सापेक्ष सममित होता है। अर्थात, किसी मैट्रिक्स A के लिए, यदि A = Aᵀ (A transpose) हो, तो वह मैट्रिक्स सममित कहलाती है।

n × n सममित मैट्रिक्स में, मुख्य विकर्ण (main diagonal) के तत्व स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के तत्वों का चयन करने के बाद, उनके सममित स्थानों पर वही मान रखे जाते हैं।

उदाहरण के लिए:

3 × 3 सममित मैट्रिक्स में,

• मुख्य विकर्ण पर 3 तत्व होते हैं: a₁₁, a₂₂, a₃₃
• मुख्य विकर्ण के ऊपर 3 तत्व होते हैं: a₁₂, a₁₃, a₂₃
• मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व उनके सममित स्थानों पर समान होते हैं: a₂₁ = a₁₂, a₃₁ = a₁₃, a₃₂ = a₂₃

इस प्रकार, कुल स्वतंत्र तत्वों की संख्या = मुख्य विकर्ण के तत्व + मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व

n × n मैट्रिक्स में:

• मुख्य विकर्ण पर n तत्व होते हैं।
• मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्वों की संख्या = n(n – 1)/2

अतः, कुल स्वतंत्र तत्वों की संख्या = n + n(n – 1)/2 = (n² + n)/2

यदि प्रत्येक तत्व को k विभिन्न मान दिए जा सकते हैं, तो कुल संभावित सममित मैट्रिक्स की संख्या होगी:

k^[(n² + n)/2]

उदाहरण:

यदि n = 3 और प्रत्येक तत्व 2 मान (0 या 1) ले सकता है, तो

कुल स्वतंत्र तत्वों की संख्या = (3² + 3)/2 = 6

अतः, कुल संभावित सममित मैट्रिक्स की संख्या = 2⁶ = 64

नोट: GATE परीक्षा में इस प्रकार के प्रश्न पूछे जा सकते हैं जहाँ सममित मैट्रिक्स की कुल संभावित संख्या ज्ञात करनी होती है।

अधिक जानकारी के लिए: आप GATE की आधिकारिक वेबसाइट पर पिछले वर्षों के प्रश्नपत्र देख सकते हैं।

In GATE 2025, a common question in Discrete Mathematics or Linear Algebra involves counting the number of symmetric $n\times n$ matrices over a given set (usually binary or integers modulo some number).

Let’s solve:

Question (in Hindi style):

GATE 2025 में एक प्रश्न पूछा गया है:

“Ek $n\times n$ symmetric matrix kitne alag-alag tarike se banaye ja sakte hain, agar har element kisi finite set se liya jata hai?”

Let’s assume that each element is from a set with $k$ elements (like {0,1} → then $k=2$).

Symmetric Matrix Properties:

A symmetric matrix $A$ satisfies:

A=ATA = A^TA=AT

Which means:

• Diagonal elements can be anything → There are $n$ diagonal elements.

• Off-diagonal elements are mirrored → aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij​=aji​

There are n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}2n(n−1)​ such pairs above the diagonal. So:

Total Number of Symmetric Matrices:

Total symmetric matrices=kn×kn(n−1)2=kn(n+1)2\text{Total symmetric matrices} = k^{n} \times k^{\frac{n(n-1)}{2}} = k^{\frac{n(n+1)}{2}}Total symmetric matrices=kn×k2n(n−1)​=k2n(n+1)​

Example:

• For $n=3$, $k=2$ (binary matrix):

Total=23(3+1)2=26=64\text{Total} = 2^{\frac{3(3+1)}{2}} = 2^6 = 64Total=223(3+1)​=26=64

Final Answer (in Hindi):

Agar har entry $k$ options se li ja sakti hai, to total symmetric $n\times n$ matrix banenge:

kn(n+1)2k^{\frac{n(n+1)}{2}}k2n(n+1)​

Let me know if you’d like a Hindi explanation, practice questions, or visual example for this concept.

Gate Questions in Hindi- GATE 2025 Symmetric relation The number of different n- multiply -n symmetric matrix.

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