Day 03Part 04- Discrete mathematics for computer science in hindi- Example on Hasse Diagram.

Day 03Part 04- Discrete mathematics for computer science in hindi- Example on Hasse Diagram.

 Day 03 | Part 04 – डिस्क्रीट मैथमेटिक्स (Discrete Mathematics) for Computer Science

 Hasse Diagram का उदाहरण (Example on Hasse Diagram)

 Hasse Diagram क्या है?

Hasse Diagram एक ग्राफिकल रिप्रेजेंटेशन है जो किसी Partially Ordered Set (Poset) को दिखाने के लिए उपयोग किया जाता है।

 इसमें नोड्स (Nodes) और एजेस (Edges) होते हैं।
सीधे कनेक्शन्स दिखाए जाते हैं, लेकिन ट्रांजिटिव एजेस हटाए जाते हैं।
छोटे से बड़े एलिमेंट्स तक कनेक्शन होते हैं।

 Hasse Diagram बनाने के स्टेप्स

 दिए गए संबंध (Relation) के आधार पर आरेख (Diagram) बनाएं।
सबसे छोटे से सबसे बड़े एलिमेंट्स को कनेक्ट करें।
ट्रांजिटिव एजेस को हटाएं (जो पहले से एक शॉर्टर पाथ से जुड़े हैं)।

 उदाहरण 1: सेट {1, 2, 4, 8} का Hasse Diagram

संबंध: Divisibility (|) पर आधारित

• 1 | 2 (1, 2 से छोटा है)
• 2 | 4 (2, 4 से छोटा है)
• 4 | 8 (4, 8 से छोटा है)

Hasse Diagram:

यह एक Poset है!

 उदाहरण 2: सेट {a, b, c, d} के साथ

रिलेशन: {(a, b), (a, c), (b, d), (c, d)}

Hasse Diagram:

 यह Partially Ordered Set (Poset) है।

 क्या Hasse Diagram एक Lattice है?

अगर हर दो एलिमेंट्स का Least Upper Bound (LUB) और Greatest Lower Bound (GLB) होता है, तो यह एक Lattice है।
पहले Hasse Diagram बनाएं, फिर देखें कि हर जोड़े (pair) के लिए LUB और GLB हैं या नहीं।

 निष्कर्ष:

 Hasse Diagram Poset को विज़ुअलाइज़ करने का सरल तरीका है।
Divisibility, Set Inclusion, और अन्य आर्डर रिलेशंस के लिए उपयोगी है।
Lattice की पहचान करने में मदद करता है।

 क्या आप और उदाहरण या स्टेप-बाय-स्टेप सॉल्यूशन चाहते हैं?

बिलकुल! यह रहा Day 03 Part 04 – Discrete Mathematics for Computer Science in Hindi, जिसमें हम Hasse Diagram का एक आसान उदाहरण हिंदी में समझेंगे।

Hasse Diagram क्या है?

Hasse Diagram एक ग्राफ़िकल तरीका है जिससे हम किसी partially ordered set (poset) को बिना दुहराए हुए तत्वों और उनके order relations के साथ दर्शाते हैं।

Step-by-Step: Hasse Diagram का उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास एक सेट है:

$$A=\{1,2,4,8\}$$

और रिलेशन है: a ≤ b यदि a बटा b होता है (i.e. divisibility relation)

Step 1: Pairs निकालो जिनमें a ≤ b होता है

(और a ≠ b)

• 1 divides 2, 4, 8 ⇒ (1,2), (1,4), (1,8)

• 2 divides 4, 8 ⇒ (2,4), (2,8)

• 4 divides 8 ⇒ (4,8)

Step 2: Covering Pairs खोजो

हम केवल वो edges लेंगे जिनमें कोई intermediate node नहीं है। यानी, हम transitive pairs को छोड़ देंगे।

• (1,2), (2,4), (4,8)

• (1,4) और (1,8) transitive हैं ⇒ छोड़ दो

• (2,8) भी transitive ⇒ छोड़ दो

Step 3: Hasse Diagram बनाओ

• सबसे नीचे 1

• ऊपर 2

• फिर 4

• सबसे ऊपर 8

Edges:

• 1 → 2

• 2 → 4

• 4 → 8

समझने की बात:

• Hasse Diagram में हमेशा नीचे से ऊपर तक ऑर्डर होता है।

• हम “self-loops” और “transitive edges” नहीं दिखाते।

• अगर कोई node ऊपर है, तो वह नीचे वाले का बड़ा या बाद वाला होता है।

Practice Question:

सेट B = {1, 3, 9, 27} पर divisibility relation के लिए Hasse Diagram बनाइए।

उत्तर:

• Pairs: (1,3), (3,9), (9,27)

• Diagram:

अगर आप चाहें तो मैं:

• इसे PDF worksheet में दे सकता हूँ

• या आपको complex Hasse diagrams सिखा सकता हूँ (like for power set)

बताइए!