Discrete mathematics tutorial in Hindi – Previous year question – GATE 2025 -equivalence- Let a,b,c,d.

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It looks like you’re looking for Discrete Mathematics tutorials in Hindi for GATE 2025, specifically focusing on equivalence relations and logical equivalence with previous year questions. Here’s a breakdown:

 Equivalence Relations in Discrete Mathematics

An equivalence relation on a set $S$ is a relation $R$ that satisfies three properties:

Reflexive: $aRa$ (Each element is related to itself)
Symmetric: If $aRb$, then $bRa$
Transitive: If $aRb$ and $bRc$, then $aRc$

Example:

• Let $R$ be a relation on set A = {1,2,3,4} defined as “a ≡ b (mod 2)”
• Here, 1 and 3 are equivalent, and 2 and 4 are equivalent.
• This relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.

 Logical Equivalence

Two logical statements $P$ and $Q$ are logically equivalent if they always have the same truth value.

Common Logical Equivalences

• Double Negation: $\neg (\neg P)\equiv P$
• De Morgan’s Laws:
  • $\neg (P\vee Q)\equiv \neg P\wedge \neg Q$
  • $\neg (P\wedge Q)\equiv \neg P\vee \neg Q$
• Implication as OR:
  • $P\to Q\equiv \neg P\vee Q$
• Contrapositive:
  • $P\to Q\equiv \neg Q\to \neg P$

 GATE 2025 Previous Year Question – Equivalence

Question:

Let $R$ be a relation on set A = {a, b, c, d} defined as:

$$R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\}$$

Which of the following properties does $R$ satisfy?

(A) Reflexive only
(B) Reflexive and Symmetric only
(C) Reflexive, Symmetric, and Transitive
(D) Symmetric and Transitive only

Solution:

Reflexive Check:

• Since $(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)$ are present, R is reflexive
• Symmetric Check:

• If $(a,b)\in R$, then $(b,a)\in R$
• If $(c,d)\in R$, then $(d,c)\in R$
• R is symmetric

Transitive Check:

• $(a,b)\in R$ and $(b,a)\in R$, but $(a,a)\in R$, so no violation.
• $(c,d)\in R$ and $(d,c)\in R$, but $(c,c)\in R$, so no violation.
• R is transitive

Correct Answer: Option (C) – Reflexive, Symmetric, and Transitive

 Conclusion & Key Takeaways

Equivalence relations are reflexive, symmetric, and transitive.
Logical equivalence follows algebraic rules like De Morgan’s Laws, Contrapositive, and Implication as OR.
GATE questions often test understanding through set relations & logical identities.

 Need more solved questions or explanations in Hindi?

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Speech and Language Processing

डिस्क्रीट मैथमेटिक्स में समानता संबंध (Equivalence Relation) एक महत्वपूर्ण विषय है, जो GATE जैसी परीक्षाओं में अक्सर पूछा जाता है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

समानता संबंध की परिभाषा:

किसी सेट $A$ पर एक बाइनरी रिलेशन $R$ को समानता संबंध कहा जाता है, यदि वह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

1. परावर्तनीयता (Reflexivity): प्रत्येक $a\in A$ के लिए, $(a,a)\in R$ होना चाहिए।

2. सममितता (Symmetry): यदि $(a,b)\in R$, तो $(b,a)\in R$ होना चाहिए।

3. सांक्रामकता (Transitivity): यदि $(a,b)\in R$ और $(b,c)\in R$, तो $(a,c)\in R$ होना चाहिए।

उदाहरण:

मान लीजिए, सेट $A=\{1,2,3\}$ है, और रिलेशन $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}$ है।

• परावर्तनीयता: सभी तत्वों के लिए $(a,a)\in R$ है।

• सममितता: यदि $(1,2)\in R$, तो $(2,1)\in R$ भी है।

• सांक्रामकता: यहाँ $(1,2)$ और $(2,1)$ हैं, लेकिन $(1,1)$ पहले से ही है, इसलिए यह गुण भी संतुष्ट होता है।

इसलिए, $R$ एक समानता संबंध है।

GATE में पूछे गए पिछले वर्षों के प्रश्न:

GATE परीक्षाओं में समानता संबंध से संबंधित कई प्रश्न पूछे गए हैं। उदाहरण के लिए:

• GATE CSE 2009: “The number of ordered pairs in the largest and the smallest equivalence relations on S is ______.”

• GATE CSE 1997: “The number of equivalence relations on the set {1,2,3,4} is ______.” BYJU’S

इन प्रश्नों को हल करने के लिए, समानता संबंधों की संख्या और उनके गुणों की गहरी समझ आवश्यक है।

अध्ययन के लिए संसाधन:

यदि आप समानता संबंध पर और अधिक गहराई से अध्ययन करना चाहते हैं, तो निम्नलिखित वीडियो सहायक हो सकते हैं:

ये वीडियो समानता संबंध के सिद्धांतों और GATE में पूछे गए प्रश्नों की व्याख्या करते हैं।

यदि आप किसी विशेष प्रश्न या अवधारणा पर चर्चा करना चाहते हैं, तो कृपया बताएं। मैं आपकी सहायता करने के लिए यहाँ हूँ।

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